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2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科数学一、选择题1．已知集合M＝{x|－4x2}，N＝{x|x2－x－60}，则M∩N等于( )A．{x|－4x3}B．{x|－4x－2}C．{x|－2x2}D．{x|2x3}答案 C解析 ∵N＝{x|－2x3}，M＝{x|－4x2}，∴M∩N＝{x|－2x2}，故选C.2．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1答案 C解析 ∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.3．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )A．abcB．acbC．cabD．bca答案 B解析 ∵a＝log20.20，b＝20.21，c＝0.20.3∈(0,1)，∴acb.故选B.4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端5‒12的长度为26cm，则其身高可能是( )A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm答案 B解析 若头顶至咽喉的长度为26cm，则身高为26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，此人头顶至脖子下端的长度为26cm，即头顶至咽喉的长度小于26cm，所以其身高小于178cm，同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm)，故其身高可能是175cm，故选B.5．函数f(x)＝在[－π，π]上的图象大致为( )sin𝑥+𝑥cos𝑥+𝑥2A.B.C.D.答案 D解析 ∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A；∵f(π)＝＝0，∴排除C；∵f(1)＝，且sin1cos1，∴f(1)1，∴排除B，故选D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“——”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.B.C.D.516113221321116答案 A解析 由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为＝＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.故选A.6脳5脳4620645167．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )A.B.C.D.答案 B解析 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.128．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入( )12+12+12A．A＝B．A＝2＋12+𝐴1𝐴C．A＝D．A＝1＋11+2𝐴12𝐴答案 A解析 A＝，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝，k＝3,3≤2不成12立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝.故选A.12+𝐴9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝n2－2n12答案 A解析 设等差数列{an}的公差为d，∵∴解得∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A.n(𝑛‒1)210．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )A.＋y2＝1B.＋＝1𝑥22𝑥23𝑦22C.＋＝1D.＋＝1𝑥24𝑦23𝑥25𝑦24答案 B解析 由题意设椭圆的方程为＋＝1(ab0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原a2点)，则sinθ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝＝，因为cos2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－c𝑎1𝑎131322，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.11．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A．①②④B．②④C．①④D．①③答案 C解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当xπ时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，∴f(x)在上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C.12．已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )A．8πB．4πC．2πD.π6666答案 D解析 因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P－ABC放在正方体中如图所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝，所以球O的体积V＝πR3＝π3＝π，故选D.4343二、填空题13．曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．答案 y＝3x解析 因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，＝a6，则S5＝________.13𝑎24答案 1213解析 设等比数列{an}的公比为q，因为＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以13S5＝＝＝.121315．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．答案 0.18解析 记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.16．已知双曲线C：－＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．答案 2解析 因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图．F1B→F2B→因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.b𝑎a𝑏因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，b𝑎所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.c𝑎三、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sinC.2解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cosA＝＝，12因为0°A180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即＋cosC＋sinC＝2sinC，12可得cos(C＋60°)＝－.由于0°C120°，所以sin(C＋60°)＝，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝.18．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．(1)证明 连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D12的中点，所以ND＝A1D.12由题设知A1B1∥DC且A1B1＝DC，可得B1C∥A1D且B1C＝A1D，故ME∥ND且ME＝ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)解 由已知可得DE⊥DA，以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，＝(0,0，－4)，＝(－1，，－2)，＝(－1,0，－2)，＝(0，－，0)．设m＝(x，y，z)为平面A1MA的一个法向量，则所以可得m＝(，1,0)．设n＝(p，q，r)为平面A1MN的一个法向量，则所以可取n＝(2,0，－1)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角A－MA1－N的正弦值为.19．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.32(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.解 设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．32(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.3252由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，令Δ0，得t，12则x1＋x2＝－.12(𝑡‒1)9从而－＝，得t＝－.12(𝑡‒1)95278所以l的方程为y＝x－.3278(2)由＝3可得y1＝－3y2，由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，代入C的方程得x1＝3，x2＝，13即A(3,3)，B，故|AB|＝.20．已知函数f(x)＝sinx－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明：(1)f′(x)的区间上存在唯一极大值点；(‒1,蟺2)(2)f(x)有且仅有2个零点．证明 (1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cosx－，g′(x)＝－sinx＋.11+𝑥当x∈时，g′(x)单调递减，而g′(0)0，g′0，可得g′(x)在有唯一零点，设为α.则当x∈(－1，α)时，g′(x)0；当x∈时，g′(x)0.所以g(x