2020年高考真题数学【新高考全国Ⅰ卷】(山东卷)(原卷版)

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2020年普通高等学校招生全国统一考试 新高考全国Ⅰ一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2x4},则A∪B等于(  )A.{x|2x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x4}D.{x|1x4}3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(  )A.120种B.90种C.60种D.30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为(  )A.20°B.40°C.50°D.90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(  )A.62%B.56%C.46%D.42%6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)(  )A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是(  )AP→AB→A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)8.若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(  )A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知曲线C:mx2+ny2=1.(  )A.若mn0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n0,则C是圆,其半径为nC.若mn0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x-mnD.若m=0,n0,则C是两条直线10.如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)等于(  )A.sinB.sin(x+π3)(π3-2x)C.cosD.cos(2x+π6)(5π6-2x)11.已知a0,b0,且a+b=1,则(  )A.a2+b2≥B.2a-b1212C.log2a+log2b≥-2D.+≤ab212.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi0(i=1,2,…,n),i=1,定义X的信息熵H(X)=-ilog2pi.(  )n∑i=1pn∑i=1pA.若n=1,则H(X)=0B.若n=2,则H(X)随着pi的增大而增大C.若pi=(i=1,2,…,n),则H(X)随着n的增大而增大1nD.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=________.314.将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为________.答案 3n2-2n15.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则35图中阴影部分的面积为________cm2.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在①ac=,②csinA=3,③c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存33在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=sinB,C=,________?3π6注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.(1)求{an}的通项公式;(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.19.为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:SO2[0,50](50,150](150,475]PM2.5[0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?附:K2=,nad-bc2a+bc+da+cb+dP(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820.如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.21.已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.22.已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,且过点A(2,1).x2a2y2b222(1)求C的方程;(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.

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