2020年高考真题数学【新高考全国Ⅰ卷】(山东卷)（含解析版）

2020年普通高等学校招生全国统一考试　新高考全国Ⅰ一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2x4}，则A∪B等于(　　)A．{x|2x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x4}D．{x|1x4}答案　C解析　A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2x4}＝{x|1≤x4}．2.等于(　　)2－i1＋2iA．1B．－1C．iD．－i答案　D解析　＝＝＝－i.2－i1＋2i2－i1－2i1＋2i1－2i－5i53．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)A．120种B．90种C．60种D．30种答案　C解析　先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C16种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有C·C·C＝60(种)2533162533不同的安排方法．4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为(　　)A．20°B．40°C．50°D．90°答案　B解析　如图所示，⊙O为赤道平面，⊙O1为A点处的日晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的面垂直，则晷针AC与水平面所成角为40°.5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)A．62%B．56%C．46%D．42%答案　C解析　用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.6．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)(　　)A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天答案　B解析　由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，得r＝＝＝0.38.R0－1T3.28－16由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)＝2I(t1)，即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t2－t1)＝ln2，所以t2－t1＝≈≈1.8.ln20.380.690.387．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)AP→AB→A．(－2,6)B．(－6,2)C．(－2,4)D．(－4,6)答案　A解析　如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(－1，)．33设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2,0)，且－1x3.AP→AB→所以·＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．AP→AB→8．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)A．[－1,1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞)D．[－1,0]∪[1,3]答案　D解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　)A．若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n0，则C是圆，其半径为nC．若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x－mnD．若m＝0，n0，则C是两条直线答案　ACD解析　对于A，当mn0时，有0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．1n1mx21my21n对于B，当m＝n0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误．1n1n对于C，当m0，n0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近x21my2－1n1m－1n线方程为y＝±x；当m0，n0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝，b－mny21nx2－1m1n＝，渐近线方程为y＝±x，故C正确．－1m－mn对于D，当m＝0，n0时，方程化为y＝±，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．1n10．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)等于(　　)A．sinB．sin(x＋π3)(π3－2x)C．cosD．cos(2x＋π6)(5π6－2x)答案　BC解析　由图象知＝－＝，得T＝π，T22π3π6π2所以ω＝＝2.2πT又图象过点，(π6，0)由“五点法”，结合图象可得φ＋＝π，即φ＝，π32π3所以sin(ωx＋φ)＝sin，故A错误；(2x＋2π3)由sin＝sin＝sin知B正确；(2x＋2π3)[π－(π3－2x)](π3－2x)由sin＝sin＝cos知C正确；(2x＋2π3)(2x＋π2＋π6)(2x＋π6)由sin＝cos＝cos(2x＋2π3)(2x＋π6)[π＋(2x－5π6)]＝－cos知D错误．(5π6－2x)11．已知a0，b0，且a＋b＝1，则(　　)A．a2＋b2≥B．2a－b1212C．log2a＋log2b≥－2D.＋≤ab2答案　ABD解析　因为a0，b0，a＋b＝1，所以a＋b≥2，ab当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤.1214对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确；1412对于B,2a－b＝22a－1＝×22a，12因为a0，所以22a1，即2a－b，故B正确；12对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2，故C错误；14对于D，由(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，ababab得＋≤，故D正确．ab212．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1,2，…，n，且P(X＝i)＝pi0(i＝1,2，…，n)，i＝1，定义X的信息熵H(X)＝－ilog2pi.(　　)n∑i＝1pn∑i＝1pA．若n＝1，则H(X)＝0B．若n＝2，则H(X)随着pi的增大而增大C．若pi＝(i＝1,2，…，n)，则H(X)随着n的增大而增大1nD．若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，则H(X)≤H(Y)答案　AC解析　对于A，当n＝1时，p1＝1，H(X)＝－1×log21＝0，故A正确；对于B，当n＝2时，有p1＋p2＝1，此时，若p1＝或都有H(X)＝－，故B错误；1434(14log214＋34log234)对于C，当pi＝(i＝1,2，…，n)时，1nH(X)＝－log2＝－n×log2＝log2n.n∑i＝11n1n1n1n显然H(X)随n的增大而增大，故C正确；对于D，方法一　当n＝2m时，H(X)＝－(p1log2p1＋p2log2p2＋…＋p2m－1log2p2m－1＋p2mlog2p2m)＝－[(p1log2p1＋p2mlog2p2m)＋(p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1)＋…＋(pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1)]，H(Y)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋p2m－1)·log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]，由于p1log2p1＋p2mlog2p2m＝log2(·)log2[(p1＋p2m)p1·]11pp22mpmp212()mpmpp＝log2＝(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)，1212()mppmpp同理可证p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1(p2＋p2m－1)·log2(p2＋p2m－1)，…，pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)，所以H(X)H(Y)．方法二　(特值法)令m＝1，则n＝2，p1＝，p2＝.1434P(Y＝1)＝1，H(Y)＝－log21＝0，H(X)＝－0，(14log214＋34log234)∴H(X)H(Y)．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.3答案　163解析　如图，由题意得，抛物线焦点为F(1,0)，设直线AB的方程为y＝(x－1)．3由Error!得3x2－10x＋3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，103所以|AB|＝x1＋x2＋2＝.16314．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．答案　3n2－2n解析　方法一　(观察归纳法)数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.故前n项和为Sn＝＝na1＋an2n1＋6n－52＝3n2－2n.方法二　(引入参变量法)令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数．令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…)．at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同方法一．15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则35图中阴影部分的面积为________cm2.答案　4＋5π2解析　如图，连接OA，过A作AP⊥EF，分别交EF，DG，OH于点P，Q，R.由题意知AP＝EP＝7，又DE＝2，EF＝12，所以AQ＝QG＝5，所以∠AHO＝∠AGQ＝.π4因为OA⊥AH，所以∠AOH＝，∠AOB＝.π43π4设AR＝x，则OR＝x，RQ＝5－x.因为tan∠ODC＝，35所以tan∠ODC＝＝，5－x7－x35解得x＝2，则OA＝2.2所以S＝S扇形AOB＋S△AOH－S小半圆＝××(2)2＋×4×2－π×12123π421212＝cm2.(5π2＋4)16．