2008年广东高考（理科）数学试题及答案

第1页（共5页）开始1in整除a?是输入mn，结束ami输出ai，1ii图3否2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（C）02azazA．B．C．D．(15)，(13)，(15)，(13)，【解析】，而，即，12az20a5112a51z2．记等差数列的前项和为，若，，则（D）{}nannS112a420S6SA．16B．24C．36D．48【解析】，，故20624dS3d481536dS3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（C）A．24B．18C．16D．12表1【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的500人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为2:3:31682644．若变量满足则的最大值是（C）xy，24025000xyxyxy，，，，≤≤≥≥32zxyA．90B．80C．70D．40【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C.5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体ABC，，GHI△按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（A）EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEA．BEB．BEC．BED．【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.6．已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（D）:p:qA．B．C．D．()pqpq()()pq()()pq【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有为真命题pq()()pq7．设，若函数，有大于零的极值点，则（B）aR3axyexxRA．B．C．D．3a3a13a13a【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有'()3axfxaexR'()30axfxae成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为'()30axfxae0a13ln()xaa0xa.3a8．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若ABCDACBDOE，ODAECDF，，则（B）ACaBDbAFA．B．C．D．1142ab2133ab1124ab1233ab【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案:1:2DFFCB.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~12题）9．阅读图3的程序框图，若输入，，则输出，4m6nai（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）:【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，na而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍maamn数12，即此时有。3i10．已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，26(1)kxk8x则．k【解析】按二项式定理展开的通项为，26(1)kx22166()rrrrrrTCkxCkx我们知道的系数为，即，也即，8x444615Ckk415120k48k而是正整数，故只能取1。kk11．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线2220xxyC0xy一年级二年级三年级女生373xy男生377370z第2页（共5页）方程是．【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的(1,0)0xy直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的yxbb值为，故待求的直线的方程为。1b10xy12．已知函数，，则的最小正周期是．()(sincos)sinfxxxxxR()fx【解析】,此时可得函数的最小正周期。21cos21()sinsincossin222xfxxxxx22T二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，12CC，cos3，则曲线与交点的极坐标为．π4cos002，≥≤1C2C【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。cos3(0,0)4cos2236(23,)614．（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围aRx2104xxaaa是．【解析】方程即,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数的取211[0,]44aaxxa值范围为10,415．（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交PAOA2PAACOPCO于点，，则圆的半径．B1PBOR【解析】依题意，我们知道,PBAPAC由相似三角形的性质我们有,2PAPBRAB即。222213221PAABRPB三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）已知函数，的最大值是1，其图像经过点．()sin()(00π)fxAxA，xRπ132M，（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．()fxπ02，，3()5f12()13f()f【解析】（1）依题意有，则，1A()sin()fxx将点代入得，1(,)32M1sin()32而，，，05362故；()sin()cos2fxxx（2）依题意有，而，312cos,cos513,(0,)2，2234125sin1(),sin1()551313。3124556()cos()coscossinsin51351365f17．（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产1%70%品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【解析】的所有可能取值有6，2，1，-2；，126(6)0.63200P50(2)0.25200P，20(1)0.1200P4(2)0.02200P故的分布列为：621-2P0.630.250.10.02（2）60.6320.2510.1(2)0.024.34E第3页（共5页）AyxOBGFF1图4（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为x()60.72(10.70.01)(2)0.014.76(00.29)Exxxx依题意，，即，解得所以三等品率最多为()4.73Ex4.764.73x0.03x3%18．（本小题满分14分）设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴0b222212xybb28()xyb(02)Fb，x的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．GG1F（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角AB，PABP△形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．【解析】（1）由得，28()xyb218yxb当得，2yb4xG点的坐标为，，，(4,2)b1'4yx4'|1xy过点G的切线方程为即，(2)4ybx2yxb令得，点的坐标为，0y2xb1F(2,0)b由椭圆方程得点的坐标为，1F(,0)b即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；2bb1b2212xy28(1)xy（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,AxP以为直角的只有一个，PABRtABP同理以为直角的只有一个。PBARtABP若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，APBP21(,1)8xxAB(2,0)(2,0)。222421152(1)108644PAPBxxxx关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，2xxAPBRtABP因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。ABP19．（本小题满分14分）设，函数，，，试讨论函数的单调性．kR111()11xxfxxx，，≥()()FxfxkxxR()Fx【解析】1,1,1()()1,1,kxxxFxfxkxxkxx21,1,(1)'()1,1,21kxxFxkxx对于，1()(1)1Fxkxxx当时，函数在上是增函数；0k()Fx(,1)当时，函数在上是减函数，在上是增函数；0k()Fx1(,1)k1(1,1)k对于，1()(1)21Fxkxx当时，函数在上是减函数；0k()Fx1,当时，函数在上是减函数，在上是增函数。0k()Fx211,14k211,4k20．（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，PABCDABCDRBD，，垂直底面，，分别是上的点，且60ABD45BDCPDABCD22PDREF，PBCD，，过点作的平行线交于．PEDFEBFCEBCPCG（1）求与平面所成角的正弦值；BDABP（2）证明：是直角三角形；EFG△（3）当时，求的面积．12PEEBEFG△【解析】（1）在中，，RtBAD60ABD,3ABRADR而PD垂直底面ABCD，2222(22)(3)11PAPDADRRR,2222(22)(2)23PBPDBDRRRFCPGEAB图5D第4页（共5页）在中，,即为以为直角的直角三角形。PAB222PAABPBPABPAB设点到面的距离为,DPABH由有,PABDDPABVVPAABHABADPD即3222661111ADPDRRHRPAR;66sin11HBD(2),而,即,//,PEPGEGBCEBGCPEDFEBFC,//PGDFGFPDGCDC，GFBC,是直角三角形；GFEGEFG（3）时,,12PEEB13EGPEBCPB23GFCFPDCD即,11222422cos45,22333333EGBCRRGFPDRR的面积EFG211242422339EFGSEGGFRRR21．（本小题满分12分）设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，pq，，20xpxq{}nx1xp22xpq（…）．12nnnxpxqx34n，，（1）证明：，；pq（2）求数列的通项公式；{}nx（3）若，，求的前项和．1p14q{}nxnnS【解析】（1）由求根公式，不妨设，得2244,22pp