2015年广东高考（理科）数学试题及答案

12015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1．若集合，，则{|(4)(1)0}Mxxx=++={|(4)(1)0}Nxxx=--=MN=A．B．C．D．1,401,42．若复数z=i(3–2i)(i是虚数单位)，则=zA．3-2iB．3+2iC．2+3iD．2-3i3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A．B．C．D．xexyxxy1xxy21221xy4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A．1B.C.D.211121102155．平行于直线且与圆相切的直线的方程是012yx522yxA．或B.或052yx052yx052yx052yxC.或D.或052yx052yx052yx052yx6．若变量x，y满足约束条件则的最小值为2031854yxyxyxz23A．B.6C.D.45315237．已知双曲线C：的离心率e=，且其右焦点F2(5,0)，则双曲线C的方程为（）12222byax45A．B.C.D.13422yx191622yx116922yx14322yx8．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值A．大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9-13题）9．在的展开式中，x的系数为。4)1(x10．在等差数列{}中，若，则=。na2576543aaaaa82aa11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a=，sinB=，C=，则b=。3216π12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。（用数字作答）13．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。（用数字做答）（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为A(,24sin(2）π22)，则点A到直线l的距离为。47π15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD=。三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=（，），n=（sinx，cosx），x∈（0，）。22222图1POECDAB2（1）若m⊥n，求tanx的值（2）若m与n的夹角为，求x的值。317．（本小题满分12分）某工厂36名工人的年龄数据如下表。工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140244340441533640745842943103611311238133914431545163917381836192720432141223723342442253726442742283429393043313832423353343735493639（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的平均值和方差；x2s（3）36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？sxsx18．（本小题满分14分）如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，，，.点E4PDPC==6AB=3BC=是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且，.2AFFB=2CGGB=（1）证明：；PEFG（2）求二面角的正切值；PADC--（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.19．（本小题满分14分）设a1，函数。aexxfx)1()(2(1)求的单调区间；)(xf(2)证明：在（，+∞）上仅有一个零点；)(xf(3)若曲线在点P处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线OP平行（O是坐标原()yfx=x(,)Mmn点）,证明：123eam20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点A，B.l221:650Cxyx+-+=（1）求圆的圆心坐标；1C（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线C只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不k:(4)Lykx=-k存在，说明理由.21．（本小题满分14分）数列满足,.na1212242nnnnaaa*Nn(1)求的值；3a(2)求数列前n项和Tn；na(3)令，（），证明：数列{}的前n项和11bannnannTb）131211(12nnbnS图2ADCBHFGE3满足nSnln222015广东高考数学（理）试题（参考答案）1、A2、D3、A4、C5、D6、C7、B8、C9、6　　10、10　　11、1　　12、1560　　13、　　　　15、81352216、4567以下为选择填空解析！一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1.若集合，则|(4)(1)0,|(4)(1)0MxxxNxxxMNA.1,4B.1,4C.0D.【答案】D【解析】，1,40)1)(4(xxxM4,10)1)(4(xxxNNM2.若复数（是虚数单位），则(32)ziiizA.23iB.23iC.32iD.32i【答案】A【解析】，23)23(iiiziz323.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是2A.1yx1B.yxx1C.22xxyD.xyxe【答案】D【解析】A和C选项为偶函数，B选项为奇函数，D选项为非奇非偶函数4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为5A.2110B.2111C.21D.1【答案】B【解析】211021515110CCCP5.平行于直线且与圆相切的直线的方程是2++1=0xy225xyA.250250xyxy或B.250250xyxy或C.250250xyxy或D.250250xyxy或【答案】A【解析】设所求直线为，因为圆心坐标为（0，0），则由直线与圆相切可得02cyx，解得，所求直线方程为55122ccd5c052052yxyx或86.若变量满足约束条件，则的最小值为,xy4581302xyxy32zxyA.423B.5C.631D.5【答案】B【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数，则当目标函数过点（1，），32zxy85取最小值为32zxy2357.已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为2222:1xyCab54e2(5,0)FC22A.143xy22B.1916xy22C.1169xy22D.134xy【答案】C【解析】由双曲线右焦点为，则c=5，)0,5(2F445aace，所以双曲线方程为9222acb191622yx8.若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值nnA.3至多等于B.4至多等于C.5等于D.5大于【答案】B【解析】当时，正三角形的三个顶点符合条件；当时，正四面体的四个顶点符合条件3n4n故可排除A，C，D四个选项，故答案选B二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9-13题）9.在的展开式中，的系数为.4x（-1）x【答案】6【解析】，则当时，的系数为2444411rrrrrrxCxC2rx61242C10.在等差数列中，若，则.{}na3456725aaaaa28aa【答案】10【解析】由等差数列性质得，，解得，所以255576543aaaaaa55a102582aaa11.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则b=.ABC3a1sin2B6C【答案】1【解析】，又，故，所以656,21sin或BB6C6B32A由正弦定理得，，所以BbAasinsin1b12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。（用数字作答）【答案】156013.已知随机变量X服从二项分布，，，则.(,)Bnp()30EX()20DXp【答案】31【解析】，，解得30npXE20)1(pnpXD31p（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题），14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则l2sin()24A7(22,)4A点到直线的距离为.Al【答案】225【解析】2)cos22sin22(2)4sin(21cossin即直线的直角坐标方程为，点A的直角坐标为（2，-2）l011yxxy，即A到直线的距离为2252122d15.(几何证明选讲选做题)如图1，已知是圆的直径，,是圆的切线，切点为，，过圆ABO4ABECOC1BC心作的平行线，分别交和于点和点，则=.OBCECACDPOD【答案】8【解析】图1如图所示，连结O，C两点，则,CDOCACOD90ACDCDO,90CABCBACBAACD，CABCDO9则，所以,所以BCOCABOD8OD