2019年广东高考（文科）数学试题及答案

-1-绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则=3i12izzA．2B．C．D．1322．已知集合，则1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UAB，，UBAðA．B．C．D．1,61,76,71,6,73．已知，则0.20.32log0.2,2,0.2abcA．abcB．acbC．cabD．bca4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称512512为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为51226cm，则其身高可能是A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm5．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为2sincosxxxxA．B．C．D．6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．tan255°=A．－2－B．－2+C．2－D．2+33338．已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）b，则a与b的夹角为abA．B．C．D．π6π32π35π69．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入112122-2-A．A=B．A=C．A=D．A=12A12A112A112A10．双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为22221(0,0)xyababA．2sin40°B．2cos40°C．D．1sin501cos5011．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=14bcA．6B．5C．4D．312．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，12(1,0),(1,0)FF22||2||AFFB，则C的方程为1||||ABBFA．B．C．D．2212xy22132xy22143xy22154xy二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在点处的切线方程为___________．2)3(exyxx(0,0)14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．13314aS，15．函数的最小值为___________．3π()sin(2)3cos2fxxx16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到3平面ABC的距离为___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：．22()()()()()nadbcKabcdacbdP（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a10，求使得Sn≥an的n的取值范围．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.-3-（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．20．（12分）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．21.（12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半2221141txttyt，轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；222111abcabc（2）．333()()()24abbcca2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学·参考答案一、选择题1．C2．C3．B4．B5．D6．C7．D8．B9．A10．D11．A12．B二、填空题13．y=3x14．15．−416．582三、解答题-4-17．解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的400.850估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．300.650（2）．22100(40203010)4.76250507030K由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.4.7623.84118．解：（1）设的公差为d．na由得．95Sa140ad由a3=4得．124ad于是．18,2ad因此的通项公式为．na102nan（2）由（1）得，故.14ad(9)(5),2nnnndandS由知，故等价于，解得1≤n≤10．10a0dnnSa…211100nn„所以n的取值范围是．{|110,}nnnN„„19．解：（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为1,BCME1,BBBC1MEBC∥112MEBC的中点，所以.1AD112NDAD由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.11=ABDC∥11=BCAD∥=MEND∥MNED∥又平面，所以MN∥平面.MN1CDE1CDE（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.DEBC1DECC1CCE从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离，1CDE1CDE由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.117CE41717CH从而点C到平面的距离为.1CDE4171720．解：（1）设，则.()()gxfx()cossin1,()cosgxxxxgxxx当时，；当时，，所以在单调递增，在单调π(0,)2x()0gxπ,π2x()0gx()gxπ(0,)2π,π2递减.又，故在存在唯一零点.π(0)0,0,(π)22ggg()gx(0,π)所以在存在唯一零点.()fx(0,π)（2）由题设知，可得a≤0.(π)π,(π)0faf…由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，()fx(0,π)0x00,xx()0fx0,πxx，所以在单调递增，在单调递减.()0fx()fx00,x0,πx-5-又，所以，当时，.(0)0,(π)0ff[0,π]x()0fx…又当时，ax≤0，故.0,[0,π]ax„()fxax…因此，a的取值范围是.(,0]21．解：（1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关M,AB+=0xy,AB于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设.yx(,)Maa因为与直线x+2=0相切，所以的半径为.MM|2|ra由已知得，又，故可得，解得或.||=2AOMOAO2224(2)aa=0a=4a故的半径或.M=2r=6r（2）存在定点，使得为定值.(1,0)P||||MAMP理由如下：设，由已知得的半径为.(,)MxyM=|+2|,||=2rxAO由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.MOAO2224(2)xyx24yx因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以.2:4Cyx(1,0)P1x||=+1MPx因为，所以存在满足条件的定点P.||||=||=+2(+1)=1MAMPrMPxx22．解：（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为221111tt22222222141211yttxtt.221(1)4yxx的直角坐标方程为.l23110xy（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.cos,2sinxyππC上的点到的距离为.lπ4cos11|2cos23sin11|377当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.2π3π4cos113l723．解：（1）因为，又，故有2222222,2,2ababbcbccaac1abc.222111abbccaabcabbccaabcabc所以.222111abcabc（2）因为为正数且，故有,,abc1abc3333333()()()3()()()abbccaabbcac=3(+)(+)(+)abbcac3(2)(2)(2)abbcac=24.所以.333()()()24abbcca-6-选择填空解析1.设，则（）312izizA.2B.3C.2D.1答案：C解析：因为3(3)(12)1712(12)(12)5iiiiziii所以z2217()()5522.已知集合，，，则（）}7,6,5,4,3,2,1{U5}43{2，，，A7}63{2，，，BACBUA.}6,1{B.}7,1{C.}7,6{D.}7,6,1{答案：C解析：，，则，又，则，故选C.}7,6,5,4,3,2,1{U5}43{2，，，A7}6{1，，ACU7}63{2，，，B7}{6，ACBU3.已知，，，则（）2log0.2a0.22b0.30.2cA.abcB.acbC.cabD.bca答案：B解答：由对数函数的图像可知：；再有指数函数的图像可知：，，于是2log0.20a0.221b0.300.21c可得到：.acb4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称215618.0215为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外