1996年江西高考理科数学真题及答案

1996年江西高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1)(10)题每小题4分,第(11)(15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集I=N,集合A={x│x=2n,n∈N},B={x│x=4n,n∈N},则BAI)D(BAI)C(BAI)B(BAI)A([Key]C(1)已知全集I=N,集合A={x│x=2n,n∈N},B={x│x=4n,n∈N},则BAI)D(BAI)C(BAI)B(BAI)A([Key]C(3)若sin2xcos2x,则x的取值范围是}Zk,43kx41k2|x){D(}Zk,43kx41k|x){C(}Zk,45k2x41k2|x){B(}Zk,41k2x43k2|x){A([Key]D(4)复数)i31()i22(4等于i31)D(i31)C(i31)B(i31)A([Key]B5)如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ,l//α,mα和m⊥γ那么必有(A)α⊥γ且l⊥m(B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m(D)α∥β且α⊥γ[Key]A(6)当2x2，函数xcos3xsin)x(f的(A)最大值是1，最小值是-1(B)最大值是1，最小值是-(1/2)(C)最大值是2，最小值是-2(D)最大值是2，最小值是-1[Key]D(7)椭圆sin51ycos33x的两个焦点坐标是(B)(A)(-3,5),(-3,-3)(B)(3,3,),(3,-5)(C)(1,1,),(-7,1)(D)(7,-1,),(-1,-1)(8)若2a0，则)]a(arccos[sin)]a2(arcsin[cos等于a22)D(a22)C(2)B(2)A([Key]A(9)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为3333a122)D(a123)C(12a)B(6a)A([Key]D(10)等比数列{an}的首项a1=-1，前n项的和为Sn，若3231SS510，则nnSlim等于2)D(2)C(32)B(32)A([Key]B(11)椭圆的极坐标方程为cos23，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是)23arctg2,7)(23arctg,7)(B()35,2)(3,2)(B()23,3)(2,3)(B(),1)(0,3)(A([Key]C(12)等差数列{an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(A)130(B)170(C)210(D)260[Key]C(13)设双曲线)ba0(1byax2222的半焦距为c，直线l过两点(a,0)(0,b)。已知原点到直线l的距离为c43，则双曲线的离心率为332)D(2)C(3)B(2)A([Key]A(14)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角ψ等于362)D(2)C(332)B(322)A([Key]D(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于(A)0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5[Key]B(16)已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p0)的准线相切.则P=.[Key]2(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有个(用数字作答).[Key]32(18)tg20°+tg40°+3tg20°tg40°的值是______________[Key]3(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是[Key]42.(20)解不等式1)x11(loga。[Key]本小题考查对数函数性质,对数不等式的解法,分类讨论的方法和运算能力.满分11分.解:(Ⅰ)当a＞1时,原不等式等价于不等式组:分2ax110x11由此得x1a1因为1-a0,所以x0,分50xa11(Ⅱ)当0a1时,原不等式等价于不等式组:分7)2(ax11)1(0x11由①得,x1或x0,由(2)得,0xa11,∴1xa1110分综上，当a1时，不等式的解集为}0xa11|x{当0a1时，不等式的解集为}a11x1|x{11分(21)已知△ABC的三个角A，B，C满足A+C=2B，Bcos2Acos1Acos1,求2CAcos的值[Key]本小题考查三角函数基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力.满分12分.解法一:由题设条件知B=60°,A+C=120°.2分22Ccos1Acos1,2260cos2将上式化为CcosAcos22CcosAcos利用和差化积及积化和差公式,上式可化为分从而得分代入上式并整理得将分代入上式得将12222CAcos022CAcos2032CAcos220)32CAcos22)(22CAcos(29,023)2CAcos(2)2CA(cos241)2CA(cos2)CAcos(6)CAcos(222)2CAcos(21)CAcos(,2160cos2CAcos)]CAcos()CA[cos(222CAcos2CAcos222解法二:由题设条件知B=60°,A+C=120°.)7(43coscossin43cos41cossin23cos211sin23cos211)60cos(1)60cos(1Ccos1Acos1)3(60C,60A,2CA2CA222分所以分可得则设)9(023cos2cos242243coscos21BcosBcos243coscos222分整理得依题设条件有)12(222CAcos0)2cos2(03cos220)3cos22)(2cos2(分从而得(22)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1.(Ⅰ)求证:BE=EB1;(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).[Key](Ⅰ)证明:在截面A1EC内,过E作EG⊥A1C,G是垂足.①∵∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,②∵∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.③∵∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,④∵∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,⑤∵1111EBBE,BB21BE,BB21AA21FG故即(Ⅱ)解本小题考查空间线面关系,正三棱柱的性质,逻辑思维能力,空间想象能力及运算能力.满分12分.(Ⅰ)①∵面A1EC⊥侧面AC1,2分②∵面ABC⊥侧面AC1,3分③∵BE∥侧面AC1,4分④∵BE∥AA1,5分⑤∵AF=FC,6分(Ⅱ)解:分别延长CE、C1B1交于点D,连结A1D.)9(CADA,90CABBDACDA30ADB180(21DBABDA60ACBCBABACBDC21EBCC21BB21EB,CC//EB111111111111111111111111111111111分即∵CC1⊥面A1C1B1,即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影,根据三垂线定理得DA1⊥A1C,所以∠CA1C1所求二面角的平面角.11分∵CC1=AA1=A1B1=A1C1,∠A1C1C=90°,∴∠CA1C1=45°,即所求二面角为45°.12分:23.某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷)?(),(总人口数总产量人均粮食占有量耕地面积总产量糖食单产[Key]本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力,指数函数和二项式定理的应用,近似计算的方法和能力.满分10分.解:设耕地平均每年至多只能减少X公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷.依题意得不等式)9)((1.4x1.4)1045.1(22.11.11[10)]01.0C01.0C1(22.11.11[10]22.1)01.01(1.11[10]22.1)01.01(1.11[10x)5%)(101(P10M%)11(P)x1010(%)221(M3221011031031034104分公顷化简得分答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.10分(24)已知l1、l2是过点P(-2,0)的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2(I)求l1的斜率k1的取值范围；(II)若|A1B1|=5|A2B2|，求l1、l2的方程(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质,解析几何的基本思想,以及综合运用知识的能力.满分12分.解：(I)依题设，l1、l2的斜率都存在，因为l1过点P(-2,0)且与双曲线有两个交点，故方程组)1()1(1xy)0k)(2x(ky2211分有两个不同的解.在方程组①中消去y,整理得)2(01k2xk22x)1k(2121221若k21-1=0,则方程组①只有一个解，即l1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故k21-1≠0即|k1|≠1方程②的判别式为)1k3(4)1k2)(1k(4)k22(2121212211设的斜率为k2，因为l2过点P(-2,0)且与双曲线有两个交点，故方程组)3(1xy)0k)(2x(ky2222有两个不同的解.在方程组③中消去y,整理得)1k3(4,01k)4(01k2xk22x)1k(222222222222同理有又因为l1⊥l2,所以有k1·k2=-1.4分于是,l1、l2与双曲线各有两个交点，等价于1|k|1kk01k301k31212221解得)6(1|k|3k3311分)7)(33,1()1,33()33,1()1,3(k1分(Ⅱ)设A1(x1y1),B1(x2y2)1.由方程②知,1k1k2xx,1kk22xx212121212121∴│A1B1│2=(x1-x2)2+(y1-y2)2)9()5()1k()1k3)(k1(4)xx)(k1(221212122121分同理，由方程④可求得，|A2B2|2,整理得)k1()k3)(k1(4|BA|212121222⑥由|A1B1|=|,BA|522得|A1B1|2=5|A2B2|2将⑤、⑥代入上式得2k)k1()k3)(k1(45)1k()1k3)(k1(4122121212212121解得)12)(2x(22y:l),2x(2y:l,2k)2x(22y:l),2x(2y:l,2k211211分时取时取25.已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f