1998年江西高考理科数学真题及答案

1998年江西高考理科数学真题及答案一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．（4分）sin330°等于（）A．B．C．D．2．（4分）函数y＝a|x|（a＞1）的图象是（）A．B．C．D．3．（4分）曲线的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为（）A．（x+2）2+y2＝4B．（x﹣2）2+y2＝4C．（x+4）2+y2＝16D．（x﹣4）2+y2＝164．（4分）两条直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直的充要条件是（）A．A1A2+B1B2＝0B．A1A2﹣B1B2＝0C．D．5．（4分）函数f（x）（x≠0）的反函数f﹣1（x）＝（）A．x（x≠0）B．（x≠0）C．﹣x（x≠0）D．（x≠0）6．（4分）若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（）A．*B．C．D．7．（4分）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A．120°B．150°C．180°D．240°8．（4分）复数﹣i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）A．iB．iC．±iD．±i9．（4分）如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A．2B．S0C．2S0＝S+S′D．S02＝2S'S10．（4分）向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A．B．C．D．11．（4分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A．90种B．180种C．270种D．540种12．（4分）椭圆1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍13．（4分）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（）A．4B．2C．2D．14．（4分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（）A．arccosB．arcsinC．arccosD．arcsin15．（4分）在等比数列{an}中，a1＞1，且前n项和Sn满足Sn，那么a1的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）16．（5分）已知圆C过双曲线1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．17．（5分）（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数为（用数字作答）．18．（5分）如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）19．（5分）关于函数f（x）＝4sin（x∈R），有下列命题：①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos；③y＝f（x）的图象关于点对称；④y＝f（x）的图象关于直线x对称．其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（共6小题，满分70分）20．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c＝2b，A﹣C．求sinB的值．以下公式供解题时参考：sinθ+sin∅＝2sincos，sinθ﹣sin∅＝2cossin，cosθ+cos∅＝2coscos，cosθ﹣cos∅＝﹣2sinsin．21．（12分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|，|AN|＝3，且|BN|＝6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．22．（12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）．23．（12分）已知如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C．（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离．24．（12分）设曲线C的方程是y＝x3﹣x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．（1）写出曲线C1的方程；（2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称；（3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明st且t≠0．25．（12分）已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1+b2+…+b10＝145．（1）求数列{bn}的通项bn；（2）设数列{an}的通项an＝loga（1）（其中a＞0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论．1998年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．（4分）sin330°等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵故选：B．2．（4分）函数y＝a|x|（a＞1）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：法一：由题设知y，又a＞1．由指数函数图象易知答案为B．法二：因y＝a|x|是偶函数，又a＞1．所以a|x|≥1，排除AC．当x≥0，y＝ax，由指数函数图象知选B．故选：B．3．（4分）曲线的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为（）A．（x+2）2+y2＝4B．（x﹣2）2+y2＝4C．（x+4）2+y2＝16D．（x﹣4）2+y2＝16【解答】解：将原极坐标方程ρ＝4cosθ，化为：ρ2＝4ρcosθ，化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4x＝0，即y2+（x﹣2）2＝4．故选：B．4．（4分）两条直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直的充要条件是（）A．A1A2+B1B2＝0B．A1A2﹣B1B2＝0C．D．【解答】解：直线A1x+B1y+C1＝0的方向向量为（﹣B1，A1），直线A2x+B2y+C2＝0的方向向量为（﹣B2，A2），两条直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直，就是两条直线的方向向量的数量积为0，即：（﹣B1，A1）（﹣B2，A2）＝0可得A1A2+B1B2＝0故选：A．5．（4分）函数f（x）（x≠0）的反函数f﹣1（x）＝（）A．x（x≠0）B．（x≠0）C．﹣x（x≠0）D．（x≠0）【解答】由y得x且y≠0，所以反函数f﹣1（x）且x≠0故选则B6．（4分）若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（）A．*B．C．D．【解答】解：∵⇒⇒故选：B．7．（4分）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A．120°B．150°C．180°D．240°【解答】解：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，设圆锥底面半径为1，则圆锥母线长为2，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2π，该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：π，即180°故选：C．8．（4分）复数﹣i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）A．iB．iC．±iD．±i【解答】解：∵﹣i＝cosisin，其立方根是cosisin，k∈0，1，2，即i，i，i，故选：D．9．（4分）如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A．2B．S0C．2S0＝S+S′D．S02＝2S'S【解答】解：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a，根据相似比的性质可得：，可得：消去r，可得2故选：A．10．（4分）向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A．B．C．D．【解答】解：如果水瓶形状是圆柱，V＝πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故D错；由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故A、C错．故选：B．11．（4分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A．90种B．180种C．270种D．540种【解答】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42＝540种．故选：D．12．（4分）椭圆1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍【解答】解：由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），如图，设P点的坐标是（x，y），线段PF1的中点坐标为（，）∵线段PF1的中点M在y轴上，∴0∴x＝3将P（3，y）代入椭圆1，得到y2．∴|PF1|，|PF2|．∴．故选：A．13．（4分）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（）A．4B．2C．2D．【解答】解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，则O′是△ABC的中心，则O′A＝r＝2，又因为∠AOC＝θ，OA＝OC知OA＝AC＜2O′A．其次，OA是Rt△OO′A的斜边，故OA＞O′A．所以O′A＜OA＜2O′A．因为OA＝R，所以2＜R＜4．因此，排除A、C、D，得B．解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB＝2rsin60°＝2．因为∠AOB＝θ，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R＝OA＝AB＝2．解法三：因为正三角形ABC的外径r＝2，故高ADr＝3，D是BC的中点．在△OBC中，BO＝CO＝R，∠BOC，所以BC＝BO＝R，BDBCR．在Rt△ABD中，AB＝BC＝R，所以由AB2＝BD2+AD2，得R2R2+9，所以R＝2．故选：B．14．（4分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（）A．arccosB．arcsinC．arccosD．arcsin【解答】解：设Rt△ABC中，C，则A与B互余且A为最小内角．又由已知得sin2B＝sinA，即cos2A＝sinA，1﹣sin2A＝sinA，解得sinA或sinA（舍）．故选：B．15．（4分）在等比数列{an}中，a1＞1，且前n项和Sn满足Sn，那么a1的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，）【解答】解：由题意知Sn，∴a12＝1﹣q，∵a1＞1，|q|＜1，∴1＜a12＜2，∴．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）16．（5分）已知圆C过双曲线1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．【解答】解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．∴它到中心（0，0）的距离为d．故答案为：．17．（5分）（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数为179（用数字作答）．【解答】解：（x+2）10（x2﹣1）＝x2（x+2）10﹣（x+2）10∴（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数是（x+2）10展开式的x8的系数﹣x10的系数∵（x+2）10展开式的通项为Tr+1＝C10rx10﹣r2r＝2rC10rx10﹣r∴令r＝0，2分别得x10，x8的系数为1，180故展开式中x10的系数为180﹣1＝179，故答案为17918．（5分）如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD时，有A1