2005年江西高考理科数学真题及答案

2005年江西高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第I卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，临考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)24RS如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是球的体积公式P，那么n次独立重复试验中恰好发生k334RV次的概率knkknnPPCkP)1()(其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合ABAZxxxI则},2,1,2{},2,1{},,3|||{（IB）=（）A．{1}B．{1，2}C．{2}D．{0，1，2}2．设复数：2121),(2,1zzRxixziz若为实数，则x=（）A．－2B．－1C．1D．23．“a=b”是“直线相切与圆2)()(222byaxxy”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件4．123)(xx的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A．4项B．3项C．2项D．1项5．设函数)(|,3sin|3sin)(xfxxxf则为（）A．周期函数，最小正周期为3B．周期函数，最小正周期为32C．周期函数，数小正周期为2D．非周期函数6．已知向量的夹角为与则若cacbacba,25)(,5||),4,2(),2,1(（）A．30°B．60°C．120°D．150°7．已知函数)(()(xfxfxy其中的图象如右图所示))(的导函数是函数xf，下面四个图象中)(xfy的图象大致是（）8．)22(1lim,11)1(lim11xfxxxfxx则若（）A．－1B．1C．－21D．219．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．12125B．9125C．6125D．312510．已知实数a,b满足等式,)31()21(ba下列五个关系式①0ba②ab0③0ab④ba0⑤a=b其中不可能．．．成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．在△OAB中，O为坐标原点，]2,0(),1,(sin),cos,1(BA，则△OAB的面积达到最大值时，（）A．6B．4C．3D．212．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（）A．561B．701C．3361D．4201第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共15分，请将答案填在答题卡上.13．若函数)2(log)(22axxxfn是奇函数，则a=.14．设实数x,y满足的最大值是则xyyyxyx,03204202.15．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=2，BB1=2，90ABC，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为.16．以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点，k为非零常数，kPBPA||||，则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若),(21OBOAOP则动点P的轨迹为椭圆；③方程02522xx的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222yxyx与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数baxxxf2)(（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；（2）设k1，解关于x的不等式；xkxkxf2)1()(18．（本小题满分12分）已知向量baxfxxbxxa)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令.是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使xfxfxfxfx若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.19．（本小题满分12分）A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求的取值范围；（2）求的数学期望E.20．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动.（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为4.21．（本小题满分12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数na.),4(,21,110Nnaaaannn（1）证明;,21Nnaann（2）求数列}{na的通项公式an.22．（本小题满分14分）如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P在直线02:yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.参考答案一、选择题1．D2．A3．A4．B5．B6．C7．C8．C9．C10．B11．D12．A二、填空题13．2214．2315．22316．③④三、解答题17．解：（1）将0124,3221xbaxxxx分别代入方程得).2(2)(,2184169392xxxxfbababa所以解得（2）不等式即为02)1(,2)1(222xkxkxxkxkxx可化为即.0))(1)(2(kxxx①当).,2(),1(,21kxk解集为②当);,2()2,1(0)1()2(,22xxxk解集为不等式为时③),()2,1(,2kxk解集为时当.18．解：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(xxxxbaxf12cos22cos2sin22tan112tan2tan12tan1)2cos222sin22(2cos222xxxxxxxxxx.cossinxxxxxxxfxfxfxfsincoscossin)()(:,0)()(即令.0cos2x.0)()(],,0[2,2xfxfxx使所以存在实数可得19．解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则915||nmnm，可得：.9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当nmnmnmnmnmnm（2）;645)21(2)7(;161322)21(2)5(7155CPP.322756455964571615;64556451611)9(EP20．解法（一）（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=5，AD1=2，故.2121,232152211BCAESSACECAD而.31,23121,3131111hhhSDDSVCADAECAECD（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.设AE=x，则BE=2－x,,,1,.1,4,211xEHDHERtxDEADERtDHDHDDHDRt中在中在中在.4,32.32543.54,3122的大小为二面角时中在中在DECDAExxxxxxCECBERtCHDHCRt解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111EDDAxEDDA所以因为（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而)0,2,1(),1,1,1(1ACED，)1,0,1(1AD，设平面ACD1的法向量为),,(cban，则,0,01ADnACn也即002caba，得caba2，从而)2,1,2(n，所以点E到平面AD1C的距离为.313212||||1nnEDh（3）设平面D1EC的法向量),,(cban，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11DDCDxCE由.0)2(02,0,01xbacbCEnCDn令b=1,∴c=2,a=2－x，∴).2,1,2(xn依题意.225)2(222||||||4cos211xDDnDDn∴321x（不合，舍去），322x.∴AE=32时，二面角D1—EC—D的大小为4.21．解：（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010aaaa∴210aa，命题正确.2°假设n=k时有.21kkaa则)4(21)4(21,1111kkkkkkaaaaaakn时).4)((21))((21)(211111kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa而.0,04.0111kkkkkkaaaaaa又.2])2(4[21)4(2121kkkkaaaa∴1kn时命题正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有.21nnaa方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010aaaa∴2010aa；2°假设n=k时有21kkaa成立，令)4(21)(xxxf，)(xf在[0，2]上单调递增，所以由假设有：),2()()(1fafafkk即),24(221)4(21)4(2111kkkkaaaa也即当n=k+1时21kkaa成立，所以对一切2,1kkaaNn有（2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121nnnnaaaa所以21)2()2(2nnaannnnnnnnnbbbbbab22212122222112)21()21(21)21(2121,2则令,又bn=－1，所以1212)21(22,)21(nnnnnbab即22．解：（1）设切点A、B坐标分别为))((,(),(0121120xxxxxx和，∴切线AP的方程为：;02200xyxx切线BP