2015年海南省高考数学试题及答案（理科）

12015年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）理科数学注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（A）｛－1，0｝（B）｛0，1｝（C）｛-1，0，1｝（D）｛0，1，2｝2.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=－4i，则a=（A）-1（B）0（C）1（D）23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.等比数列｛｝满足=3，=21，则=𝑎𝑛𝑎1𝑎1+𝑎3+𝑎5𝑎3+𝑎5+𝑎7（A）21（B）42（C）63（D）845.设函数=，则+=f(x)1,2,1),2(log112xxxx＜f(－2)f(log212)（A）3（B）6（C）9（D）126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为（A）（B）（C）（D）817161517.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=MN（A）2（B）8（C）4（D）10668.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入分别为14,18，𝑎,𝑏则输出的𝑎=（A）0（B）2（C）4（D）149.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（A）36π（B）64π（C）144π（D）256π10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=。将动点P到AB两点距离之和表示为的函数，则𝑥𝑥𝑓（𝑥）𝑓（𝑥）的图像大致为11.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(A)(B)2(C)(D)532212.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得f’(𝑥)f(x)(x∈R)𝑓（−1）=0𝑥0xf’(𝑥)－f(x)＜0成立的的取值范围是𝑓(𝑥)0𝑥(A)(－∞，－1)∪(0，1)(B)(－1，0)∪(1，＋∞)(C)(－∞，－1)∪(－1，0)(D)(0，1)∪(1，＋∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13.设向量不平行，向量与平行，则实数=________.(用数字填写答案)𝑎，𝑏𝜆a＋ba＋2b𝜆14.若满足约束条件，则的最大值为____________..𝑥，𝑦,022,02,01yxyxyxz=x＋y15.4的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则=__________.(a＋𝑥)(1＋𝑥)𝑥a16.设Sn是数列{}的前项和，且=－1，，则=________.𝑎𝑛𝑛𝑎1𝑎𝑛+1=𝑆𝑛𝑆𝑛+1𝑆𝑛三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。(Ⅰ)求；CBsinsin(Ⅱ)若AD=1，DC=，求BD和AC的长.2218.（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率19.（本小题满分12分）如图，长方体中，=8，点分别在，上，=。过𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐴𝐵=16，𝐵𝐶=10𝐴𝐴1𝐸，𝐹𝐴1𝐵1𝐷1𝐶1𝐴1𝐸𝐷1𝐹带你的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形𝐸，𝐹𝛼（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值𝐴𝐹𝛼20.（本小题满分12分）已知椭圆C：2+2=2，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有9xym(m0)两个交点A，B，线段AB的中点为M.（I）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（II）若l过点(，),延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？3mm若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.𝑙21.（本小题满分12分）设函数.𝑓(𝑥)=𝑒𝑚𝑥+𝑥2−𝑚𝑥(Ⅰ)证明：在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；𝑓(𝑥)3（Ⅱ）若对于任意∈[-1,1],都有｜｜≤,求的取值范围𝑥1,𝑥2𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑒−1𝑚请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.（I）证明：EF平行于BC（II）若AG等于圆O的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1:，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正)0(,sin,costttytx为参数，半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，曲线C3：.𝜌=2sinθ𝜌=32cos𝜃（I）.求C2与C3交点的直角坐标（II）.若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值AB（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设均为正数，且,证明：𝑎、𝑏、𝑐、𝑑𝑎+𝑏=𝑐+𝑑（I）若，则；ab＞cddcba＞（II）是的充要条件.dcba＞dcba＜（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设均为正数，且,证明：（I）若，则；dcba＞（II）是的充要条件.dcba＞dcba＜42015年海南省数学理科高考试题及答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（）（A）｛--1,0｝（B）｛0,1｝（C）｛-1,0,1｝（D）｛,0,，1，2｝【答案】A【解析】由已知得21Bxx，故1,0AB，故选A（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（）（A）-1（B）0（C）1（D）2【答案】B【解析】[来源:Z_xx_k.Com]（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是()（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．（4）等比数列｛an｝满足a1=3，135aaa=21，则357aaa()（A）21（B）42（C）63（D）84【答案】B【解析】（5）设函数211log(2),1,()2,1,xxxfxx,2(2)(log12)ff()（A）3（B）6（C）9（D）12【答案】C【解析】由已知得2(2)1log43f，又2log121，所以22log121log62(log12)226f，故2(2)(log12)9ff．（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A）81（B）71（C）61（D）51【答案】D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCDABCD中，截去四面体111AABD，如图所示，，设正方体棱长为a，则11133111326AABDVaa，故剩余几何体体积为3331566aaa，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51．5CBADD1C1B1A1（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则MN=（A）26（B）8（C）46（D）10【答案】C【解析】（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=A.0B.2C.4D.14【答案】B[来源:Z.xx.k.Com]【解析】程序在执行过程中，a，b的值依次为14a，18b；4b；10a；6a；2a；2b，此时2ab程序结束，输出a的值为2，故选B．（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A．36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时2311136326OABCCAOBVVRRR，故6R，则球O的表面积为24144SR，故选C．BOAC10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为[来源:学科网]【答案】B【解析】的运6动过程可以看出，轨迹关于直线2x对称，且()()42ff，且轨迹非线型，故选B．（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（A）√5（B）2（C）√3（D）√2【答案】D【解析】（12）设函数f’(x)是奇函数()()fxxR的导函数，f（-1）=0，当0x时，'()()0xfxfx，则使得()0fx成立的x的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】记函数()()fxgxx，则''2()()()xfxfxgxx，因为当0x时，'()()0xfxfx，故当0x时，'()0gx，所以()gx在(0,)单调递减；又因为函数()()fxxR是奇函数，故函数()gx是偶函数，所以()gx在(,0)单调递减