2009年湖南高考理科数学试题及答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若2log0a，1()12b，则【】A．1a,0bB．1a,0bC.01a,0bD.01a,0b2．对于非零向量,,ab“0ab”是“//ab”的【】A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．将函数sinyx的图象向左．．平移(02)个单位后，得到函数sin()6yx的图象，则等于【】A．6B．56C.76D.1164．如图1，当参数12,时，连续函数(0)1xyxx的图像分别对应曲线1C和2C,则【】A．120B．210C．120D．2105．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【】A．85B．56C．49D．286．已知D是由不等式组20,30xyxy所确定的平面区域，则圆224xy在区域D内的弧长为【】A．4B．2C．34D．32图1c2c1oyxC1D1B1A1DCBA7．正方体1111ABCDABCD的棱上到异面直线AB，C1C的距离相等的点的个数为【】A．2B．3C．4D．58．设函数()yfx在(,)内有定义.对于给定的正数K，定义函数(),(),(),().KfxfxKfxKfxK取函数()fx2xxe。若对任意的(,)x，恒有()Kfx()fx，则【】A．K的最大值为2B．K的最小值为2C．K的最大值为1D．K的最小值为1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为___.10．在3333(1)(1)(1)xxx的展开式中，x的系数为___(用数字作答).11．若(0,)2x，则2tantan()2xx的最小值为.12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为60，则双曲线C的离心率为13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为。14．在半径为13的球面上有A,B,C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为；（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为.15．将正ABC分割成2*(2,)nnnN个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为()fn，则有(2)2f，(3)f，…，()fn.BACABC图3图2三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）在ABC中，已知2233ABACABACBC，求角A，B，C的大小17．（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。18．（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱111ABCABC中，12ABAA，点D是11AB的中点，点E在11AC上，且DEAE（I）证明：平面ADE平面11ACCA；（II）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。19．（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)xx万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为y万元。ABCDA1B1C1E（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d.当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和（Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。21．（本小题满分13分）对于数列{}nu,若存在常数M＞0,对任意的*nN，恒有1121nnnnuuuuuuM,则称数列{}nu为B数列.（Ⅰ）首项为1，公比为(1)qq的等比数列是否为B-数列？请说明理由;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（Ⅱ）设nS是数列nx的前n项和，给出下列两组论断；A组：①数列nx是B-数列,②数列nx不是B-数列;B组：③数列nS是B-数列,④数列nS不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；(Ⅲ)若数列,nnab都是B数列，证明：数列nnab也是B数列。2009年高考湖南理科数学试题及全解全析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（09湖南理）若2log0a，1()12b，则【D】A．1a,0bB．1a,0bC.01a,0bD.01a,0b解:由2log001aa,1()102bb，易知D正确.2．（09湖南理）对于非零向量,,ab“0ab”是“//ab”的【A】A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件解:0abab，//ab；反之不成立，故选A.3．（09湖南理）将函数sinyx的图象向左．．平移(02)个单位后，得到函数sin()6yx的图象，则等于【D】A．6B．56C.76D.116解:依题意得11sin()sin(2)sin()666yxxx，116，易知D正确.4．（09湖南理）如图1，当参数12,时，连续函数(0)1xyxx的图像分别对应曲线1C和2C,则【B】A．120B．210C．120D．210解:易知0，故可排除C,D,再取特殊值1x，结合图像可得210，故选B.5．（09湖南理）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【C】A．85B．56C．49D．28解:除开丙，由间接法得3397843549CC，故选C.C1D1B1A1DCBA6．（09湖南理）已知D是由不等式组20,30xyxy所确定的平面区域，则圆224xy在区域D内的弧长为【B】A．4B．2C．34D．32解:作图，由12111123,,tan111234123kk，故弧长为242lR，选B.7．（09湖南理）正方体1111ABCDABCD的棱上到异面直线AB，C1C的距离相等的点的个数为【C】A．2B．3C．4D．5解:如图，用列举法知合要求的点的个数为：BC的点E、11AD的点F、1B、D，共4个，故选C.8．（09湖南理）设函数()yfx在(,)内有定义.对于给定的正数K，定义函数(),(),(),().KfxfxKfxKfxK取函数()fx2xxe。若对任意的(,)x，恒有()Kfx()fx，则【D】A．K的最大值为2B．K的最小值为2C．K的最大值为1D．K的最小值为1解:由()Kfx恒成立知min()Kfx,故K有最小值，可排除A,C,又由直觉思维得在0x时，()22011xfxxe，排除B,因此选D.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上.9．（09湖南理）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__.解:设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15)5xx，故15530812xx.注：最好作出韦恩图！或由1510(308)315312人.10．（09湖南理）在3333(1)(1)(1)xxx的展开式中，x的系数为__7__(用数字作答).解:13,rrrTCb故有：12330333327CCCC，得x的系数为7.11．（09湖南理）若(0,)2x，则2tantan()2xx的最小值为22.解:1(0,)2tantan()2tan2222tanxxxxx，当且仅当122tantantan2xxx时取等号.12．（09湖南理）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为62.解:设双曲线C的左右焦点为12,FF，虚轴的上下两个端点为12,BB，由于,cb故11260FBF,则有1221236030tan303bBFBBFOc,2223ca,2223,.262ceea13．（09湖南理）一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为40。解:设B层中的个体数为n，则211828nnC，则总体中的个体数为8540.14．（09湖南理）在半径为13的球面上有A,B,C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为12；（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为3.解:由AB=6，BC=8，CA=10得ABC是以B为直角顶点的直角三角形，（1）设斜边AC的中点为O,则5rBO，故222213512dRr;（2）作OHAB,则4OH，故12tan3.4dOHOOH15．（09湖南理）将正ABC分割成2*(2,)nnnN个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为()fn，则有(2)2f，(3)f103，…，()fn1(1)(2)6nn.解:若依题意顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1，按等差数列的性质进行计算则显然运算量较大,故常规思维不可取！可偏偏特取A,B,C处的数均为13（极限法）来思考：则图2中有26a个13，得1(2)623f；故图3中有310a个13，得1(3)101033f；易知4n时有415a个13，探讨数列26,a310,a415,a13(2)1,nnaann（可参考2006湖南卷:逆序数）由叠加法推知:6[456(11)](1)(2)2nannn