2013年湖南高考理科数学试题及答案

1绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2013•湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3B．2C．1D．06．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1B．C．D．28．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2B．1C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为_________．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为_________．11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为_________．12．（5分）（2013•湖南）若，则常数T的值为_________．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为_________．314．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为_________．15．（5分）（2013•湖南）设Sn为数列{an}的前n项和，，n∈N*，则（1）a3=_________；（2）S1+S2+…+S100=_________．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为_________．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数，．（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y514845424这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（I）证明：AC⊥B1D；（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．521．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（I）若k1＞0，k2＞0，证明：；（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．6一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1ziii为虚数单位在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】z=i·(1+i)=i–1,所以对应点(-1,1).选B选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【答案】D【解析】因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。选D3.在锐角中ABC，角,AB所对的边长分别为,ab.若2sin3,aBbA则角等于A．12B．6C．4D．3【答案】D【解析】3=A223=sinAsinB3=sinB2sinA:得b3=2asinB由A，选D4.若变量,xy满足约束条件211yxxyy，2xy则的最大值是A．5-2B．0C．53D．52【答案】C【解析】区域为三角形，直线u=x+2y经过三角形顶点最大时，35)32,31(u选C5.函数2lnfxx的图像与函数245gxxx的图像的交点个数为A．3B．2C．1D．0【答案】B7【解析】二次函数245gxxx的图像开口向上，在x轴上方，对称轴为x=2，g(2)=1；f(2)=2ln2=ln41.所以g(2)f(2),从图像上可知交点个数为2选B6.已知,ab是单位向量，0ab.若向量c满足1,cabc则的取值范围是A．2-1,2+1，B．2-1,2+2，C．1,2+1，D．1,2+2，【答案】A【解析】向量之差的向量与即一个模为单位c2.1|c-)ba(||ba-c|,2|ba|向量，是b,a的模为1，可以在单位圆中解得12||1-2c。选A7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于A．1B．2C．2-12D．2+12【答案】C【解析】由题知，正方体的棱长为1，121-2.]2,1[]2,1[1而上也在区间上，所以正视图的面积，宽在区间正视图的高为。选C8.在等腰三角形ABC中，=4ABAC，点P是边AB上异于,AB的一点，光线从点P出发，经,BCCA发射后又回到原点P（如图1）.若光线QR经过ABC的中心，则AP等A．2B．1C．83D．43【答案】D【解析】使用解析法。8).34,34(32).2,2(),0,(OOABCDBCxP处，在中线的的重心的中点设))1(3)12(4,)1(3)2(4()),1(34,0(34)34(,kkkkQkRxkykRQ则其方程为的斜率为设直线。0)1)(12(1,0,)1(3)2(4)12(4,3)1(4kkkkkkkxkkkkkQPRPQPRP由题知3421(01xkxk，舍）选D二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xoy中，若,3cos,:(t)C:2sinxtxlytay为参数过椭圆()为参数的右顶点，则常数a的值为3.【答案】3【解析】303)0,3(149,:22aayxCaxyl的右顶点程：椭圆方方程直线10.已知222,,,236,49abcabcabc则的最小值为12.【答案】12【解析】.考察柯西不等式12943631211))3()2(()111(2222222222cbacbacba）（时，取最小值且当32,1,2cba.11.如图2，在半径为7的O中,弦,,2,ABCDPPAPB相交于点91PDO，则圆心到弦CD的距离为.【答案】23【解析】23)2(5,422PCrdCDDCPCPCDPPBAP的距离，圆心到由相交弦定理得（一）必做题（12-16题）12.若209,TxdxT则常数的值为3.【答案】3【解析】393330302TTxdxxTT13.执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2,aba则输出的的值为9.【答案】9【解析】922221a14．设12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点，P是C上一点，若216,PFPFa且12PFF的最小内角为30，则C的离心率为___。【答案】3【解析】设P点在右支上，anamanmanmPFnPFm2,426|,||,|21则1023)3(4182441630cos:.302222121accaacacaFPFFPF由余弦定理得中，由题知，3ace15．设nS为数列na的前n项和，1(1),,2nnnnSanN则（1）3a_____；（2）12100SSS___________。【答案】3【解析】设P点在右支上，anamanmanmPFnPFm2,426|,||,|21则16．设函数(),0,0.xxxfxabccacb其中（1）记集合(,,),,Mabcabca不能构成一个三角形的三条边长，且=b，则(,,)abcM所对应的()fx的零