【易提分旗舰店】2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

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第1页(共17页)2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x>0},B={x|﹣<x<},则(  )A.A∩B=∅B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B2.(5分)若复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则z的虚部为(  )A.﹣4B.C.4D.3.(5分)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是(  )A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样4.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(  )A.y=B.y=C.y=±xD.y=5.(5分)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于(  )A.[﹣3,4]B.[﹣5,2]C.[﹣4,3]D.[﹣2,5]6.(5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为(  )A.B.C.D.7.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm﹣1=﹣2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(  )A.3B.4C.5D.68.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )第2页(共17页)A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π9.(5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=(  )A.5B.6C.7D.810.(5分)已知椭圆E:的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为(  )A.B.C.D.11.(5分)已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(  )A.(﹣∞,0]B.(﹣∞,1]C.[﹣2,1]D.[﹣2,0]12.(5分)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3…若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,,,则(  )A.{Sn}为递减数列B.{Sn}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知两个单位向量,的夹角为60°,=t+(1﹣t).若•=0,则t=  .14.(5分)若数列{an}的前n项和为Sn=an+,则数列{an}的通项公式是an=  .15.(5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ=  .16.(5分)若函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,则f(x)的最大值为  . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.第3页(共17页)18.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.(12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率;(Ⅱ)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.20.(12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.21.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(Ⅰ)求a,b,c,d的值;(Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围. 第4页(共17页)四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答,并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本选考题的首题进行评分.22.(10分)(选修4﹣1:几何证明选讲)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.(Ⅰ)证明:DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[﹣,]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 第5页(共17页)2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x>0},B={x|﹣<x<},则(  )A.A∩B=∅B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B【考点】1D:并集及其运算;73:一元二次不等式及其应用.菁优网版权所有【专题】59:不等式的解法及应用;5J:集合.【分析】根据一元二次不等式的解法,求出集合A,再根据的定义求出A∩B和A∪B.【解答】解:∵集合A={x|x2﹣2x>0}={x|x>2或x<0},∴A∩B={x|2<x<或﹣<x<0},A∪B=R,故选:B.【点评】本题考查一元二次不等式的解法,以及并集的定义,属于基础题. 2.(5分)若复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则z的虚部为(  )A.﹣4B.C.4D.【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】5N:数系的扩充和复数.【分析】由题意可得z==,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i,由此可得z的虚部.【解答】解:∵复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,∴z====+i,故z的虚部等于,故选:D.【点评】本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题. 3.(5分)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是(  )A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样【考点】B3:分层抽样方法.菁优网版权所有【专题】21:阅读型.【分析】若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样.【解答】解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理.故选:C.【点评】本小题考查抽样方法,主要考查抽样方法,属基本题. 4.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(  )A.y=B.y=C.y=±xD.y=【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2,而渐近线方程为y=±x,代入可得答案.第6页(共17页)【解答】解:由双曲线C:(a>0,b>0),则离心率e===,即4b2=a2,故渐近线方程为y=±x=x,故选:D.【点评】本题考查双曲线的简单性质,涉及的渐近线方程,属基础题. 5.(5分)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于(  )A.[﹣3,4]B.[﹣5,2]C.[﹣4,3]D.[﹣2,5]【考点】3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法;EF:程序框图.菁优网版权所有【专题】27:图表型;5K:算法和程序框图.【分析】本题考查的知识点是程序框图,分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算一个分段函数的函数值,由条件为t<1我们可得,分段函数的分类标准,由分支结构中是否两条分支上对应的语句行,我们易得函数的解析式.【解答】解:由判断框中的条件为t<1,可得:函数分为两段,即t<1与t≥1,又由满足条件时函数的解析式为:s=3t;不满足条件时,即t≥1时,函数的解析式为:s=4t﹣t2故分段函数的解析式为:s=,如果输入的t∈[﹣1,3],画出此分段函数在t∈[﹣1,3]时的图象,则输出的s属于[﹣3,4].故选:A.【点评】要求条件结构对应的函数解析式,要分如下几个步骤:①分析流程图的结构,分析条件结构是如何嵌套的,以确定函数所分的段数;②根据判断框中的条件,设置分类标准;③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作,分析函数各段的解析式;④对前面的分类进行总结,写出分段函数的解析式. 6.(5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为(  )第7页(共17页)A.B.C.D.【考点】LG:球的体积和表面积.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离.【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M,可得圆心M为正方体上底面正方形的中心.设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5,用球的体积公式即可算出该球的体积.【解答】解:设正方体上底面所在平面截球得小圆M,则圆心M为正方体上底面正方形的中心.如图.设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质,得R2=(R﹣2)2+42,解出R=5,∴根据球的体积公式,该球的体积V===.故选:A.【点评】本题给出球与正方体相切的问题,求球的体积,着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识,属于中档题. 7.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm﹣1=﹣2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(  )A.3B.4C.5D.6【考点】83:等差数列的性质;85:等差数列的前n项和.菁优网版权所有【专题】11:计算题;54:等差数列与等比数列.【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am,进而得到公差d,由前n项和公式及Sm=0可求得a1,再由通项公式及am=2可得m值.【解答】解:am=Sm﹣Sm﹣1=2,am+1=Sm+1﹣Sm=3,所以公差d=am+1﹣am=1,Sm==0,m﹣1>0,m>1,因此m不能为0,得a

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