【易提分旗舰店】2021年高考数学（新高考全国Ⅰ卷）含解析版

2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）数学一、单选题1.设集合{|24}Axx，{2,3,4,5}B，则AB（）A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}答案：B解析：{2,3}AB，选B.2.已知2zi，则()zzi（）A.62iB.42iC.62iD.42i答案：C解析：2,()(2)(22)62zizziiii，选C.3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.22C.4D.42答案：B解析：设母线长为l，则2222ll.4.下列区间中，函数()7sin()6fxx单调递增的区间是（）A.(0,)2B.(,)2C.3(,)2D.3(,2)2答案：A解析：()fx单调递增区间为：222()22()26233kxkkZkxkkZ，令0k，故选A.5.已知1F，2F是椭圆22:194xyC的两个焦点，点M在C上，则12||||MFMF的最大值为（）A.13B.12C.9D.6答案：C解析：由椭圆定义，12||||6MFMF，则21212||||||||()92MFMFMFMF，故选C.6.若tan2，则sin(1sin2)sincos（）A.65B.25C.25D.65答案：C解析：22sin(1sin2)sin(sincos2sincos)sincossincos22222sinsincostantan2sincostan15，故选C.7.若过点(,)ab可以作曲线xye的两条切线，则（）A.beaB.aebC.0baeD.0abe答案：D解析：设切点为00(,)Pxy，∵xye，∴xye，则切线斜率0xke，切线方程为0()xybexa，又∵00(,)Pxy在切线上以及xye上，则有000()xxebexa，整理得00(1)0xexab，令()(1)xgxexab，则()()xgxexa，∴()gx在(,)a单调递减，在(,)a单调递增，则()gx在xa时取到极小值即最小值()agabe，又由已知过(,)ab可作xye的两条切线，等价于()(1)xgxexab有两个不同的零点，则min()()0agxgabe，得aeb，又当x时，(1)0xexa，则(1)xexabb，∴0b，当1xaa时，有(1)0gab，即()gx有两个不同的零点.∴0abe.8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立答案：B解析：由题意知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，两点数和为7的所有可能为：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，∴1()6P甲，11()166P乙，5()36P丙，61()=366P丁，()0P甲丙，1()36P甲丁，1()36P乙丙，()0P丙丁，故()()()PPP甲丁甲丁，B正确，故选B.二、多选题9.有一组样本数据12,,,nxxx，由这组数据得到新样本数据12,,,nyyy，其中1(1,2,)iyxcin，c为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同答案：C、D解析：对于A选项：121nxxxxn，1212nnyyyxxxycnn，∴xy，∴A错误；对于B选项：可假设数据样本12,,,nxxx中位数为m，由iiyxc可知数据样本12,,,nyyy的中位数为mc，∴B错误；对于C选项：2221121[()()()]nSxxxxxxn2222121[()()()]nSyyyyyyn2221211[()()()]nxxxxxxSn，∴C正确；对于D选项：∵iiyxc，∴两组样本数据极差相同，∴D正确。10.已知O为坐标原点，点1(cos,sin)P，2(cos,sin)P，3(cos(),sin())P，(1,0)A，则（）A.12||||OPOPB.12||||APAPC.312OAOPOPOPD.123OAOPOPOP答案：A、C解析：221||cossin1OP，222||cos(sin)1OP，∴A正确；2221(cos1)sin22cosAP，2222(cos1)(sin)22cosAP，22cos22cos,∴B错；3cos()OAOP，12coscossinsincos()OPOP，∴C正确；1cosOAOP，23coscos()sinsin()cos(2)OPOP，∴D错.11.已知点P在圆22(5)(5)16xy上，点(4,0)A，(0,2)B，则（）A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当PBA最小时，||32PBD.当PBA最大时，||32PB答案：A、C、D解析：由已知易得直线AB的方程为240xy.圆心(5,5)到直线AB的距离2|5104|114512d，∴直线AB与圆相离，则P到AB的距离的取值范围为1111[4,4]55，又11455，则A正确，B错误，由图易得，当P在点1P处时，1BP与圆C相切，此时1PBAPBA最小，22||5(52)34BC，1||4CP，∴132BP，同理当P在点2P处，2PBAPBA最大，此时222232BPBCPC.故C、D正确.12.在正三棱柱111ABCABC中，11ABAA，点P满足1BPBCBB，其中[0,1]，[0,1]，则（）A.当1时，1ABP的周长为定值B.当1时，三棱锥1PABC的体积为定值C.当12时，有且仅有一个点P，使得1APBPD.当12时，有且仅有一个点P，使得1AB平面1ABP答案：B、D解析：对于A，当1时，1BPBCBB，∴1CPBB，此时P在线段1CC上运动，此时1ABP的周长不为定值，A错.对于B，当1时，11BPBCBBBPBC，此时P在线段11BC上运动,11//BC平面1ABC，点P到平面1ABC的距离即为点1B到平面1ABC的距离，111PABCBABCVV为定值，B正确.对于C，当12时，112BPBCBB，分别取BC，11BC的中点,EF，此时P在线段EF上运动，要使1APBP，只需1AP在平面11BCCB上的射影PF与BP垂直，此时P在E或F的位置，有两个P，C错误.对于D，12时，112BPBCBB，分别取11,BBCC的中点,MN，则P在线段MN上运动，∵正三棱柱111ABCABC中，11ABAA，11ABAB，要使得1AB平面1ABP，只需1AB在平面11BCCB上的射影与1BP垂直，有且只有一个点P即为N点时，满足题意，D正确.三、填空题13.已知函数3()(22)xxfxxa是偶函数，则a.答案：1解析：因为()fx为偶函数，则()()fxfx，即33(22)(22)xxxxxaxa，整理则有(1)(22)0xxa，故1a.14.已知O为坐标原点，抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP.若||6FQ，则C的准线方程为.答案：32x解析：因为PF垂直x轴，故点P坐标为(,)2pp，又因为OPPF，则2FQPFPFOF，即62p，故3p，则准线方程为32x.15.函数()|21|2lnfxxx的最小值为.答案：1解析：当12x时，()212lnfxxx，2()2fxx，()0fx时，112x，()0fx时，1x，()fx在1(,1)2上单调递减，在(1,)上单调递增，当102x时，()122lnfxxx，函数单调递减，综上，函数在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以函数最小值为(1)1f.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm12dm，20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和21240dmS，对折2次共可以得到5dm12dm，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和22180dmS，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么1nkkS2dm.答案：52407207202nn解析：（1）易知有320dmdm4，310dmdm2，5dm3dm，5dm6dm2，5dm12dm4，共5种规格.（2）由题可知对折k次共有1k种规格，且面积为2402k，故240(1)2kkkS，则1112402nnkkkkkS，记112nnkkkT，则111122nnkkkT，故1111111111112211()222222nnnnnkkkknkkkkkkkknT11111(1)133421122212nnnnn，则332nnnT，故13240720240(3)72022nknnknnS.四、解答题17.已知数列{}na满足11a，11,2,nnnanaan为奇数为偶数.（1）记2nnba，写出1b，2b，并求数列{}nb的通项公式；（2）求{}na的前20项和.答案：见解析；解析：（1）12112baa，3224aa，24315baa，122221222(1)33nnnnnnnnbbaaaaaa，∴{}nb是以3为公差的等差数列，∴2(1)331nbnn.（2）242010(229)1552aaa，13519242011115510145aaaaaaa，∴20155145300S.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.答案：见解析；解析：（1）若小明先回答A问题，记X为小明累计得分，则X的取值可能为：100，20，0，因为各题互相独立，由分步完成原理得(100)0.80.