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第1页（共11页）2008年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若sinα＜0且tanα＞0，则α是（ ）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（5分）设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（ ）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}3．（5分）原点到直线x+2y﹣5=0的距离为（ ）A．1B．C．2D．4．（5分）函数f（x）=﹣x的图象关于（ ）A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称D．直线y=x对称5．（5分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则（ ）A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a6．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（ ）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣87．（5分）设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（ ）A．1B．C．D．﹣18．（5分）正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为（ ）A．3B．6C．9D．189．（5分）的展开式中x的系数是（ ）A．﹣4B．﹣3C．3D．410．（5分）函数f（x）=sinx﹣cosx的最大值为（ ）A．1B．C．D．211．（5分）设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．12．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）A．1B．C．D．2 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，若向量与向量共线，则λ= ．14．（5分）从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答）15．（5分）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于 ．16．（5分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ；充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件） 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，cosA=﹣，cosB=．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）设BC=5，求△ABC的面积．第2页（共11页）18．（12分）等差数列{an}中，a4=10且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20．19．（12分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．设甲、乙的射击相互独立．（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．20．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）求二面角A1﹣DE﹣B的大小．第3页（共11页）21．（12分）设a∈R，函数f（x）=ax3﹣3x2．（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．22．（12分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（Ⅰ）若，求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值． 第4页（共11页）2008年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若sinα＜0且tanα＞0，则α是（ ）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【考点】GC：三角函数值的符号．菁优网版权所有【分析】由正弦和正切的符号确定角的象限，当正弦值小于零时，角在第三四象限，当正切值大于零，角在第一三象限，要同时满足这两个条件，角的位置是第三象限，实际上我们解的是不等式组．【解答】解：sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限．故选：C．【点评】记住角在各象限的三角函数符号是解题的关键，可用口诀帮助记忆：一全部，二正弦，三切值，四余弦，它们在上面所述的象限为正 2．（5分）设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（ ）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【分析】由题意知集合M={m∈z|﹣3＜m＜2}，N={n∈z|﹣1≤n≤3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵M={﹣2，﹣1，0，1}，N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={﹣1，0，1}，故选：B．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题． 3．（5分）原点到直线x+2y﹣5=0的距离为（ ）A．1B．C．2D．【考点】IT：点到直线的距离公式．菁优网版权所有【分析】用点到直线的距离公式直接求解．【解答】解析：．故选：D．【点评】点到直线的距离公式是高考考点，是同学学习的重点，本题是基础题． 4．（5分）函数f（x）=﹣x的图象关于（ ）A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称D．直线y=x对称【考点】3M：奇偶函数图象的对称性．菁优网版权所有【分析】根据函数f（x）的奇偶性即可得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，是高考必考题型． 5．（5分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则（ ）A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有【分析】根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小．【解答】解：因为a=lnx在（0，+∞）上单调递增，故当x∈（e﹣1，1）时，a∈（﹣1，0），第5页（共11页）于是b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx＜0，从而b＜a．又a﹣c=lnx﹣ln3x=a（1+a）（1﹣a）＜0，从而a＜c．综上所述，b＜a＜c．故选：C．【点评】对数值的大小，一般要用对数的性质，比较法，以及0或1的应用，本题是基础题． 6．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（ ）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选：D．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 7．（5分）设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（ ）A．1B．C．D．﹣1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．【解答】解：y'=2ax，于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行∴有2a=2∴a=1故选：A．【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率． 8．（5分）正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为（ ）A．3B．6C．9D．18【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】先求正四棱锥的高，再求正四棱锥的底面边长，然后求其体积．【解答】解：高，又因底面正方形的对角线等于，∴底面积为，∴体积故选：B．【点评】本题考查直线与平面所成的角，棱锥的体积，注意在底面积的计算时，要注意多思则少算． 第6页（共11页）9．（5分）的展开式中x的系数是（ ）A．﹣4B．﹣3C．3D．4【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【分析】先利用平方差公式化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为1求得展开式中x的系数．【解答】解：=（1﹣x）4（1﹣x）4的展开式的通项为Tr+1=C4r（﹣x）r=（﹣1）rC4rxr令r=1得展开式中x的系数为﹣4故选：A．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定想问题的工具． 10．（5分）函数f（x）=sinx﹣cosx的最大值为（ ）A．1B．C．D．2【考点】H4：正弦函数的定义域和值域；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简，即可得到答案．【解答】解：，所以最大值是故选：B．【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和正弦函数的最值问题．三角函数中化为一个角的三角函数问题是三角函数在高考中的热点问题． 11．（5分）设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据题设条件可知2c=|AB|，所以，由双曲线的定义能够求出2a，从而导出双曲线的离心率．【解答】解：由题意2c=|AB|，所以，由双曲线的定义，有，∴故选：B．【点评】本题考查双曲线的有关性质和双曲线定义的应用． 12．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）A．1B．C．D．2【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是对角线O1O2=OE，而OE==，∴O1O2=故选：C．【点评】本题考查球的有关概念，两平面垂直的性质，是基础题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，若向量与向量共线，则λ= 2 ．第7页（共11页）【考点】96：平行向量（共线）．菁优网版权所有【分析】用向量共线的充要条件：它们的坐标交叉相乘相等列方程解．【解答】解：∵a=（1，2），b=（2，3），∴λa+b=（λ，2λ）+（2，3）=（λ+2，2λ+3）．∵向量λa+b与向量c=（﹣4，﹣7）共线，∴﹣7（λ+2）+4（2λ+3）=0，∴λ=2．故答案为2【点评】考查两向量共线的充要条件． 14．（5分）从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 420 种（用数字作答）【考点】D5：组合及组合数公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；32：分类讨论．【分析】由题意分类：①男同学选1人，女同学中选2人，确定选法；②男同学选2人，女同学中选1人，确定选法；然后求和即可．【解答】解：由题意共有两类不同选法，①男同学选1人，女同学中选2人，不同选法C101C62=15