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第1页（共13页）2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集U={x∈N+|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）=（ ）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）不等式＜0的解集为（ ）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}3．（5分）已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（ ）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）函数的反函数是（ ）A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y=e2x﹣1+1（x＞0）C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y=e2x﹣1+1（x∈R）5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）A．1B．2C．3D．46．（5分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（ ）A．14B．21C．28D．357．（5分）若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（ ）A．a=1，b=2B．a=﹣1，b=2C．a=1，b=﹣2D．a=﹣1，b=﹣28．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）A．B．C．D．9．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）A．12种B．18种C．36种D．54种10．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（ ）A．+B．+C．+D．+11．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（ ）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（ ）A．1B．C．D．2 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知α是第二象限的角，tanα=﹣，则cosα= ．14．（5分）（x+）9展开式中x3的系数是 ．（用数字作答）15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p= ．16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= ． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．第2页（共13页）18．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=（an+）2，求数列{bn}的前n项和Tn．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．第3页（共13页）21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．22．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切． 第4页（共13页）2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集U={x∈N+|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）=（ ）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由全集U={x∈N+|x＜6}，可得U={1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．【解答】解：∵A={1，3}，B={3，5}，∴A∪B={1，3，5}，∵U={x∈N+|x＜6}={1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）={2，4}，故选：C．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算． 2．（5分）不等式＜0的解集为（ ）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}【考点】73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选：A．【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题． 3．（5分）已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（ ）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）=﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sina=，∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣．故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆． 4．（5分）函数的反函数是（ ）A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y=e2x﹣1+1（x＞0）C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y=e2x﹣1+1（x∈R）【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定第5页（共13页）义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x=e2y﹣1+1，∴f﹣1（x）=e2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）． 5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）A．1B．2C．3D．4【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】31：数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x=1，y=1时zmax=3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 6．（5分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（ ）A．14B．21C．28D．35【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质． 7．（5分）若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（ ）A．a=1，b=2B．a=﹣1，b=2C．a=1，b=﹣2D．a=﹣1，b=﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】由y=x2+ax+b，知y′=2x+a，再由曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，求出a和b．【解答】解：∵y=x2+ax+b，∴y′=2x+a，∵y′|x=1=2+a，第6页（共13页）∴曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b=（2+a）（x﹣1），∵曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，∴a=﹣1，b=2．故选：B．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答． 8．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE=，AS=3，∴SE=2，AF=，∴sin∠ABF=．故选：D．【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角． 9．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）A．12种B．18种C．36种D．54种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有=3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有=6种放法，∴共有3×6×1=18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列． 10．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则第7页（共13页）=（ ）A．+B．+C．+D．+【考点】9B：向量加减混合运算．菁优网版权所有【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC=BD：CD 11．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等