2011年北京高考文科数学试题及答案

12011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文）本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集U=R,集合P=｛x︱x2≤1｝,那么A．(-∞,-1]B．[1,+∞）C．[-1，1]D．（-∞，-1]∪[1，+∞）2．复数212iiA．iB．-iC．4355iD．4355i3．如果,0loglog2121yx那么A．yx1B．xy1C．1xyD．1yx4．若p是真命题，q是假命题，则A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A．32B．16+162C．48D．16+3226．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为A．2B．3C．4D．57．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产2x件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品A．60件B．80件C．100件D．120件8．已知点A（0,2），B（2,0）．若点C在函数y=x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为A．4B．3C．2D．1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．在ABC中.若b=5，4B，sinA=13，则a=___________________.10．已知双曲线2221yxb（b＞0）的一条渐近线的方程为2yx，则b=.11．已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k，3）.若a-2b与c共线，则k=________________.12．在等比数列{an}中，a1=12，a4=4，则公比q=______________；a1+a2+…+an=_________________.13．已知函数32,2()(1),2xfxxxx若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_______14．设A（0,0）,B（4,0）,C（t+4,3），D（t,3）（tR）.记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（0）=N（t）的所有可能取值为三、解答题6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题共13分）已知函数()4cossin()16fxxx.（Ⅰ）求()fx的最小正周期：（Ⅱ）求()fx在区间,64上的最大值和最小值.316．（本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.（注：方差],)()()[(1222212xxxxxxnsn其中x为nxxx,,,21的平均数）17．（本小题共14分）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.18．（本小题共13分）已知函数()()xfxxke.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）求()fx在区间[0,1]上的最小值.419．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)xyGabab的离心率为63，右焦点为（22,0），斜率为I的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.（I）求椭圆G的方程；（II）求PAB的面积.20．（本小题共13分）若数列12:,,,(2)nnAaaan满足11(1,2,,1)kkaakn，则称nA为E数列，记12()nnSAaaa.（Ⅰ）写出一个E数列A5满足130aa；（Ⅱ）若112a，n=2000，证明：E数列nA是递增数列的充要条件是na=2011；（Ⅲ）在14a的E数列nA中，求使得nSA=0成立得n的最小值.5参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D（2）A（3）D（4）D（5）B（6）C（7）B（8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）325（10）2（11）1（12）22121n（13）（0，1）（14）66，7，8，三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1)6sin(cos4)(xxxf1)cos21sin23(cos4xxx1cos22sin32xxxx2cos2sin3)62sin(2x所以)(xf的最小正周期为（Ⅱ）因为.32626,46xx所以于是，当6,262xx即时，)(xf取得最大值2；当)(,6,662xfxx时即取得最小值—1．（16）（共13分）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为;435410988x方差为.1611])43510()4359()4358[(412222s（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组6中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为.41164)(CP（17）（共14分）证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE//PC。又因为DE平面BCP，所以DE//平面BCP。（Ⅱ）因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。所以四边形DEFG为平行四边形，又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形。（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=21EG.分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，且QM=QN=21EG，所以Q为满足条件的点.（18）（共13分）解：（Ⅰ）.)1()(3ekxxf令0xf，得1kx．)(xf与)(xf的情况如下：x（kk,）1k（),1(k)(xf——0+)(xf↗1ke↗所以，)(xf的单调递减区间是（1,k）；单调递增区间是),1(k7（Ⅱ）当01k，即1k时，函数)(xf在[0，1]上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为;)0(kf当21,110kk即时，由（Ⅰ）知()[0,1]fxk在上单调递减，在(1,1]k上单调递增，所以()fx在区间[0，1]上的最小值为1(1)kfke；当1,2ktk即时，函数()fx在[0，1]上单调递减，所以()fx在区间[0，1]上的最小值为(1)(1).fke（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知得622,.3cca解得23.a又2224.bac所以椭圆G的方程为221.124xy（Ⅱ）设直线l的方程为.mxy由141222yxmxy得.01236422mmxx设A、B的坐标分别为),)(,(),,(212211xxyxyxAB中点为E),(00yx，则,432210mxxx400mmxy因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.8所以PE的斜率.143342mmk解得m=2。此时方程①为.01242xx解得.0,321xx所以.2,121yy所以|AB|=23.此时，点P（—3，2）到直线AB：02yx的距离,2232|223|d所以△PAB的面积S=.29||21dAB（20）（共13分）解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具满足条件的E数列A5.（答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1，0，—1，—2，0，±1，0，—1，0都是满足条件的E的数列A5）（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以)1999,,2,1(11kaakk．所以A5是首项为12，公差为1的等差数列．所以a2000=12+（2000—1）×1=2011．充分性，由于a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1……a2—a1≤1所以a2000—at≤19999，即a2000≤a1+1999．又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999．故nnnAkaa即),1999,,2,1(011是递增数列．综上，结论得证.（Ⅲ）对首项为4的E数列Ak，由于,3112aa,2123aa…….3175aa9……所以)8,,3,2(021kaaak所以对任意的首项为4的E数列Am，若,0)(mAS则必有9n.又41a的E数列,0)(4,3,2,1,0,1,2,3,4:11ASA满足所以n是最小值是9.