2013年北京高考文科数学试题及答案

12013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合1,0,1A，|11Bxx，则AB（）A．0B．1,0C．0,1D．1,0,12．设a，b，cR，且ab，则（）A．acbcB．11abC．22abD．33ab3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的是（）A．1yxB．xyeC．21yxD．lgyx4．在复平面内，复数(2)ii对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．在ABC中，3a，5b，1sin3A，则sinB（）A．15B．59C．53D．16．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．23C．1321D．6109877．双曲线221yxm的离心率大于2的充分必要条件是A．12mB．1mC．1mD．2m8．如图，在正方体1111ABCDABCD中，P为对角线1BD的三等分点，则P到各顶点的距离的不同取值有（）2A．3个B．4个C．5个D．6个第二部分（选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．若抛物线22ypx的焦点坐标为(1,0)，则p，准线方程为。10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为。11．若等比数列na满足2420aa，3540aa，则公比q；前n项和nS。12．设D为不等式组02030xxyxy所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为。13．函数12log,1()2,1xxxfxx的值域为。14．向量(1,1)A，(3,0)B，(2,1)C，若平面区域D由所有满足APABAC（12，01）的点P组成，则D的面积为。3三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）15．（本小题共13分）已知函数21()(2cos1)sin2cos42fxxxx（1）求()fx的最小正周期及最大值。（2）若(,)2，且2()2f，求的值。416．（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市，并停留2天。（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。（2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）517．（本小题共14分）如图，在四棱锥PABCD中，//ABCD，ABAD，2CDAB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：（1）PA底面ABCD（2）//BE平面PAD（3）平面BEF平面PCD618．（本小题共13分）已知函数2()sincosfxxxxx（1）若曲线()yfx在点(,())afa处与直线yb相切，求a与b的值。（2）若曲线()yfx与直线yb有两个不同的交点，求b的取值范围。719．（本小题共14分）直线ykxm（0m）W：2214xy相交于A，C两点，O是坐标原点（1）当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长。（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形。20．（本小题共13分）给定数列1a，2a，，na。对1,2,3,,1in，该数列前i项的最大值记为iA，后ni项1ia，2ia，，na的最小值记为iB，iiidAB。（1）设数列na为3，4，7，1，写出1d，2d，3d的值。（2）设1a，2a，，na（4n）是公比大于1的等比数列，且10a，证明1d，2d，，1nd是等比数列。（3）设1d，2d，，1nd是公差大于0的等差数列，且10d，证明1a，2a，，1na是等差数列。82013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．B2．D3．C4．A5．B6．C7．C8．B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．2，1x10．311．2，121n12．25513．(,2)14．3三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）15．（本小题共13分）解：（1）21()(2cos1)sin2cos42fxxxx1cos2sin2cos42xxx11sin4cos422xx2sin(4)24x所以，最小正周期242T当4242xk（kZ），即216kx（kZ）时max2()2fx（2）因为22()sin(4)242f所以sin(4)14因为2，所以9174444所以5442，即91616．（本小题共13分）解：（1）因为要停留2天，所以应该在3月1日至13日中的某天到达，共有13种选择，其间重度污染的有两天，所以概率为1213P9（2）此人停留的两天共有13种选择，分别是：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,11)，(11,12)，(12,13)，(13,14)其中只有一天重度污染的为(4,5)，(5,6)，(7,8)，(8,9)，共4种，所以概率为2413P（3）因为第5，6，7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。17．（本小题共14分）证明：（1）因为PAAD，平面PAD底面ABCD且平面PAD底面ABCDAD所以PA底面ABCD（2）因为E和F分别是CD和PC的中点，所以//EFPD，而EF平面PAD，PD平面PAD，所以//BE平面PAD（3）因为PA底面ABCD，CD平面ABCD所以PACD，即CDPA因为ABAD，//CDAB，所以//CDAD而PA平面PAD，AD平面PAD，且PAADA所以CD平面PAD因为//ABCD，所以2CDAB，所以四边形ABED是平行四边形，所以//BEAD，而BE平面PAD，AD平面PAD所以//BE平面PAD，同理//EF平面PAD，而EF平面BEF，BE平面BEF且EFBEE所以平面//BEF平面PAD，所以CD平面//BEF又因为CD平面PCD所以平面BEF平面PCD18．（本小题共13分）解：（1）'()2cos(2cos)fxxxxxx因为曲线()yfx在点(,())afa处的切线为yb所以'()0()fafab，即22cos0sincosaaaaaaab，解得01ab（2）因为2cos0x所以当0x时'()0fx，()fx单调递增10当0x时'()0fx，()fx单调递减所以当0x时，()fx取得最小值(0)1f，所以b的取值范围是(1,)19．（本小题共14分）解：（1）线段OB的垂直平分线为12y，因为四边形OABC为菱形，所以直线12y与椭圆的交点即为A，C两点对椭圆2214xy，令12y得3x所以23AC（2）方法一：当点B不是W的顶点时，联立方程2214ykxmxy得222(14)8440kxkmxm设11(,)Axy，12(,)Cxy，则122814kmxxk，21224414mxxk，1212yykxmkxm12()2kxxm228214kmmk2214mk若四边形OABC为菱形，则OAOC，即22OAOC所以22221122xyxy即12122121()()()()xxxxyyyy因为点B不是W的顶点，所以120xx，11所以12212112xxyyyyxx即22814214kmkkmk，即4kk所以0k此时，直线AC与y轴垂直，所以B为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾，所以四边形OABC不可能为菱形方法二：因为四边形OABC为菱形，所以OAOC，设OAOCr（1r）则A，C两点为圆222xyr与椭圆2214xy的交点联立方程2222214xyrxy得224(1)3rx所以A，C两点的横坐标相等或互为相反数。因为点B在W上若A，C两点的横坐标相等，点B应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。若A，C两点的横坐标互为相反数，点B应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。所以四边形OABC不可能为菱形。20．（本小题共13分）解：（1）111312dAB，222413dAB，333716dAB（2）因为1a，2a，，na（4n）是公比大于1的等比数列，且10a所以11nnaaq所以当1,2,3,,1kn时，1kkkkkdABaa所以当2,3,,1kn时，11111(1)(1)kkkkkkkkdaaaqqqdaaaq所以1d，2d，，1nd是等比数列。12（3）若1d，2d，，1nd是公差大于0的等差数列，则1210nddd1a，2a，，1na应是递增数列，证明如下：设ka是第一个使得1kkaa的项，则1kkAA，1kkBB，所以111kkkkkkdABABd，与已知矛盾。所以，1a，2a，，1na是递增数列再证明na数列na中最小项，否则knaa（2,3,,1kn），则显然1k，否则11111110dABaBaa，与10d矛盾因而2k，此时考虑11110kkkkkdABaa，矛盾因此na是数列na中最小项综上，kkkkndABaa（2,3,,1kn）于是kknada，也即1a，2a，，1na是等差数列