2014年北京高考文科数学试题及答案

1O5430.80.70.5tp否是输出Sk=k+1S=S+2kk3k=0，S=0结束开始2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合0,1,2,4A，1,2,3B，则AB（）（A）0,1,2,3,4（B）0,4（C）1,2（D）3（2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）（A）xye（B）yx（C）lnyx（D）yx（3）已知向量2,4a，1,1b，则2ab（）（A）5,7（B）5,9（C）3,7（D）3,9（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）1（B）3（C）7（D）15（5）设a、b是实数，则“ab”是“22ab”的（）(A)充分而不必要条件(B)必要而不必要条件(C)充分必要条件(D)既不充分不必要条件（6）已知函数26logfxxx，在下列区间中，包含fx零点的区间是（）(A)0,1(B)1,2(C)2,4(D)4,（7）已知圆22:341Cxy和两点,0Am，,00Bmm，若圆C上存在点P，使得90APB，则m的最大值为（）（A）7（B）6（C）5（D）4（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系2patbtc（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）（A）3.50分钟（B）3.75分钟2（C）4.00分钟（D）4.25分钟第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若12xiiixR，则x.（10）设双曲线C的两个焦点为2,0，2,0，一个顶点式1,0，则C的方程为.（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.（12）在ABC中，1a，2b，1cos4C，则c；sinA.（13）若x、y满足11010yxyxy，则3zxy的最小值为.（14）顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为工作日.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。（15）（本小题13分）已知na是等差数列，满足13a，412a，数列nb满足14b，420b，且nnba为等比数列.（Ⅰ）求数列na和nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nb的前n项和.俯视图侧（左）视图正（主）视图111223（16）（本小题13分）函数3sin26fxx的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出fx的最小正周期及图中0x、0y的值；（Ⅱ）求fx在区间,212上的最大值和最小值.Oyxy0x04（17）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧棱垂直于底面，ABBC，12AAAC，E、F分别为11AC、BC的中点.（Ⅰ）求证：平面ABE平面11BBCC；（Ⅱ）求证：1//CF平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥EABC的体积.C1B1A1FECBA5（18）（本小题14分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）（19）（本小题14分）组号分组频数102，6224，8346，17468，225810，2561012，1271214，681416，291618，2合计100阅读时间ba频数组距18161412108642O6已知椭圆C：2224xy.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线2y，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值.7（20）（本小题13分）已知函数3()23fxxx.（Ⅰ）求()fx在区间[2,1]上的最大值；（Ⅱ）若过点(1,)Pt存在3条直线与曲线()yfx相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点(1,2),(2,10),(0,2)ABC分别存在几条直线与曲线()yfx相切？（只需写出结论）2014年普通高等学校招生全国统一考试8否是输出Sk=k+1S=S+2kk3k=0，S=0结束开始数学（文）（北京卷）答案及解析第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合0,1,2,4A，1,2,3B，则AB（）（A）0,1,2,3,4（B）0,4（C）1,2（D）3【答案】C【解析】因为}2,1{BA，所以选C.【考点】本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键.（2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）（A）xye（B）yx（C）lnyx（D）yx【答案】B【解析】对于选项A，在R上是减函数；选项C的定义域为),0(；选项D，在)0,(上是减函数，故选B.【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.（3）已知向量2,4a，1,1b，则2ab（）（A）5,7（B）5,9（C）3,7（D）3,9【答案】A【解析】因为)8,4(2a，所以)7,5()1,1()8,4(2ba，故选A.【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）1（B）3（C）7（D）15【答案】C【解析】当k=0时，1S；当k=1时，321S；当k=2时，743S；当k=3时，输出7S，故选C.【考点】本小题主要考查程序框图的基础知识，难度不大，程序框图是高考新增内容，是高考的重点知识，熟练本部分的基础知识是解答的关键.（5）设a、b是实数，则“ab”是“22ab”的（）(A)充分而不必要条件(B)必要而不必要条件(C)充分必要条件(D)既不充分不必要条件9O5430.80.70.5tp【答案】D【解析】若2,0ba，则22ba，故不充分；若0,2ba，则22ab，而ba，故不必要，故选D.【考点】本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.（6）已知函数26logfxxx，在下列区间中，包含fx零点的区间是（）(A)0,1(B)1,2(C)2,4(D)4,【答案】C【解析】因为0223)4(,014)2(ff，所以由根的存在性定理可知，选C.【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.（7）已知圆22:341Cxy和两点,0Am，,00Bmm，若圆C上存在点P，使得90APB，则m的最大值为（）（A）7（B）6（C）5（D）4【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点(0,0)为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以51m，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系2patbtc（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）（A）3.50分钟（B）3.75分钟（C）4.00分钟（D）4.25分钟【答案】B【解析】由图形可知，三点)5.0,5(),8.0,4(),7.0,3(都在函数cbtatp2的图象上，所以5.05258.04167.039cbacbacba，解得2,5.1,2.0cba.所以1613)415(2.025.12.022tttp，当415t=75.3时，p取最大值，故选B.10【考点】本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若12xiiixR，则x.【答案】2【解析】由题意知：ixi211，所以由复数相等的定义知2x【考点】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.（10）设双曲线C的两个焦点为2,0，2,0，一个顶点式1,0，则C的方程为.【答案】122yx【解析】由题意知：1,2ac，所以1222acb，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以C的方程为122yx.【考点】本小题驻澳考查双曲线方程的求解、cba,,的关系式，考查分析问题与解决问题的能力.（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.【答案】22【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形，棱锥的高为2，所以最长的棱长为222222.【考点】本小题主要考查立体几何的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解决问题的能力.（12）在ABC中，1a，2b，1cos4C，则c；sinA.【答案】2，815【解析】由余弦定理得：441225cos2222Cabbac，故2c；因为87222144cosA，所以815sinA.【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正弦定理，三角函数的基本关系式等基础止水，属中低档题目.俯视图侧（左）视图正（主）视图1112211（13）若x、y满足11010yxyxy，则3zxy的最小值为.【答案】1【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线yxz3可得，当直线经过两条直线1y与01yx的交点(0,1)时，z取得最小值1.【考点】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题，正确画图与平移直线是解答这类问题的关键.（14）顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为工作日.【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为4221156天.【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑思维能力，考查分析问题与解决问题的能力.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。（15）（本小题13分）已知na是等差数列，满足13a，412a，数列nb满足14b，420b，且nnba为等比数列.（Ⅰ）求数列na和nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nb的前n项和.（15）（共13