2015年山东高考文科数学真题及答案

12015年普通高等学校招生全国统一考试山东卷文科数学试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合|{|24130}AxxBxxx，（)(），则BA()（A）3,1（B）4,1（C）3,2（D）4,22.若复数Z满足1zii，其中i为虚数单位，则Z=()（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i3.设0.61.50.60.60.61.5abc，，，则abc，，的大小关系是()（A）abc＜＜（B）  acb＜＜（C）bac＜＜（D）bca＜＜[来源:学|科|网]4.要得到函数4ysinx（3）的图象，只需要将函数4ysinx的图象（）（A）向左平移12个单位（B）向右平移12个单位（C）向左平移3个单位（D）向右平移3个单位5.设mR,命题“若0m,则方程20xxm有实根”的逆否命题是()（A）若方程20xxm有实根，则0m(B)若方程20xxm有实根，则0m(C)若方程20xxm没有实根，则0m(D)若方程20xxm没有实根，则0m6.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：2①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为()（A）①③(B)①④(C)②③(D)②④7.在区间0,2上随机地取一个数x,则事件“121-1log2x（）1”发生的概率为()（A）34（B）23（C）13（D）148.若函数21()2xxfxa是奇函数，则使3fx（）成立的x的取值范围为()（A）(错误!未找到引用源。)(B)(错误!未找到引用源。)（C）0,1（）（D）1,（）9.已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()（A）322（B）324（C）22（D）2410.设函数3,1()2,1xxbxfxx，若5(())46ff，则b()（A）1（B）78（C）34(D)12第Ⅱ卷（共100分）3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.执行右边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是.12.若,xy满足约束条件13,1yxxyy则3zxy的最大值为.13.过点13P（，）作圆错误!未找到引用源。的两条切线，切点分别为,AB，则错误!未找到引用源。=.14.定义运算“”：22xyxyxy（,0xyRxy，）.当00xy，时，(2)xyyx的最小值是.15.过双曲线C：22221xyaa0,0ab（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.三、解答题：本大题共6小题，共75分．16.（本小题满分12分）[来源:Z*xx*k.Com]某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）[来源:学|科|网]参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学12345,AAAAA，，，，3名女同学123.BBB，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A被选中且1B未被选中的概率.417.(本小题满分12分)ABC中，角ABC，，所对的边分别为,,abc.已知36cos,sin(),2339BABac求sinA和c的值.18.如图，三棱台DEFABC中，2ABDEGH，，分别为ACBC，的中点.（I）求证：//BD平面FGH；（II）若CFBCABBC，，求证：平面BCD平面EGH.519.（本小题满分12分）已知数列na是首项为正数的等差数列，数列11nnaa的前n项和为21nn.（I）求数列na的通项公式；（II）设12nannba，求数列nb的前n项和nT.20.(本小题满分13分)设函数错误!未找到引用源。.已知曲线错误!未找到引用源。在点(1,(1))f处的切线与直线错误!未找到引用源。平行.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程错误!未找到引用源。在(,1)kk内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数错误!未找到引用源。（{},minpq表示，,pq中的较小值），求mx的最大值.21.(本小题满分14分)[来源:学科网ZXXK]6平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2222+=1(0)xybb的离心率为32，且点（3，12）在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：2222+=144xyab，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线=+ykxm交椭圆E于,AB两点，射线PO交椭圆E于点Q.（i）求||||OQOP的值；(ii)求ABQ面积的最大值.2015年普通高等学校招生全国统一考试7山东卷文科数学试题答案一、选择题：CACBDBACBD二、填空题：（11）13；（12）7；（13）32；（14）2；（15）23；三、解答题：（16）参考答案：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为151.453P(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：111213212223313233{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},ABABABABABABABABAB414243515253{,},{,},{,},{,},{,},{,}ABABABABABAB，共15个.学科网根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“1A被选中且1B未被选中”所包含的基本事件有：1213{,},{,}ABAB，共2个.因此1A被选中且1B未被选中的概率为215P.（17）参考答案：在ABC中，由3cos3B，得6sin3B.因为ABC，所以6sinsin()9CAB，因为sinsinCB，所以CB，C为锐角，53cos9C，因此sinsin()sincoscossinABCBCBC653362239393.由,sinsinacAC可得22sin323sin69ccAacC，又23ac，所以1c.8（18）参考答案：（I）证法一：连接,.DGCD设CDGFM,连接MH，在三棱台DEFABC中，2ABDEG，分别为AC的中点，可得//,DFGCDFGC，所以四边形DFCG是平行四边形，则M为CD的中点，又H是BC的中点，所以//HMBD,又HM平面FGH，BD平面FGH，所以//BD平面FGH.证法二：在三棱台DEFABC中，由2,BCEFH为BC的中点，可得//,,BHEFBHEF所以HBEF为平行四边形，可得//.BEHF在ABC中，GH，分别为ACBC，的中点，所以//,GHAB又GHHFH，所以平面//FGH平面ABED，因为BD平面ABED，所以//BD平面FGH.(II)证明：连接HE.因为GH，分别为ACBC，的中点，所以//,GHAB由,ABBC得GHBC，又H为BC的中点，所以//,,EFHCEFHC因此四边形EFCH是平行四边形，所以//.CFHE又CFBC，所以HEBC.又,HEGH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH，又BC平面BCD，所以平面BCD平面.EGH（19）参考答案：（I）设数列na的公差为d，令1,n得12113aa，所以123aa.令2,n得12231125aaaa，所以2315aa.解得11,2ad，所以21.nan（II）由（I）知24224,nnnbnn所以121424......4,nnTn9所以23141424......(1)44,nnnTnn两式相减，得121344......44nnnTn114(14)13444,1433nnnnn所以113144(31)44.999nnnnnT（20）参考答案：（I）由题意知，曲线在点(1,(1))f处的切线斜率为2，所以'(1)2f，又'()ln1,afxxx所以1a.（II）1k时，方程()()fxgx在(1,2)内存在唯一的根.设2()()()(1)ln,xxhxfxgxxxe当(0,1]x时，()0hx.又2244(2)3ln2ln8110,hee所以存在0(1,2)x，使0()0hx.因为1(2)'()ln1,xxxhxxxe所以当(1,2)x时，1'()10hxe，当(2,)x时，'()0hx，所以当(1,)x时，()hx单调递增.所以1k时，方程()()fxgx在(,1)kk内存在唯一的根.（III）由（II）知，方程()()fxgx在(1,2)内存在唯一的根0x，且0(0,)xx时，()()fxgx，0(,)xx时，()()fxgx，所以020(1)ln,(0,](),(,)xxxxxmxxxxe.当0(0,)xx时，若(0,1],()0;xmx若0(1,),xx由1'()ln10,mxxx可知00()();mxmx故0()().mxmx10当0(,)xx时，由(2)'(),xxxmxe可得0(,2)xx时，'()0,()mxmx单调递增；(2,)x时，'()0,()mxmx单调递减；[来源:学科网]可知24()(2),mxme且0()(2)mxm.综上可得函数()mx的最大值为24e.（16）参考答案：（I）由题意知22311,4ab又2232aba，解得224,1ab，所以椭圆C的方程为221.4xy（II）由（I）知椭圆E的方程为221164xy.（i）设00||(,),,||OQPxyOP由题意知00(,)Qxy.因为22001.4xy又2200()()1164xy，即22200()1.44xy所以2，即||2.||OQOP（ii）设1122(,),(,),AxyBxy将ykxm代入椭圆E的方程，可得222(14)84160kxkmxm，由0,可得22416mk………………①则有21212228416,.1414kmmxxxxkk所以221224164||.14kmxxk因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0,)m，所以OAB的面积2222212222(164)12||164||||21414kmmmkmSmxxkk22222(4).1414mmkk11设22.14mtk将直线ykxm代入椭圆C的方程，可得222(14)8440kxkmxm，由0,可得2214mk………………②由①②可知201,2(4)24.tStttt故23S.当且仅当1t，即2214mk时取得最大值23.由（i）知，A