2020年北京市高考理科数学试卷（含解析版）

-1-绝密★本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1,2}A，{|03}Bxx，则AB（）．A.{1,0,1}B.{0,1}C.{1,1,2}D.{1,2}【答案】D【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}ABII，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则iz（）．A.12iB.2iC.12iD.2i【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得12zi，2izi.故选：B.-2-【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在5(2)x的展开式中，2x的系数为（）．A.5B.5C.10D.10【答案】C【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x的系数即可.【详解】52x展开式的通项公式为：55215522rrrrrrrTCxCx，令522r可得：1r，则2x的系数为：11522510C.故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A.63B.623C.123D.-3-1223【答案】D【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：1322222sin6012232S.故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】【分析】求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原点O的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心,Cxy，则22341xy，化简得22341xy，所以圆心C的轨迹是以(3,4)M为圆心，1为半径的圆，-4-所以||1||OCOM22345，所以||514OC，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6.已知函数()21xfxx，则不等式()0fx的解集是（）．A.(1,1)B.(,1)(1,)C.(0,1)D.(,0)(1,)【答案】D【解析】【分析】作出函数2xy和1yx的图象，观察图象可得结果.【详解】因为21xfxx，所以0fx等价于21xx，在同一直角坐标系中作出2xy和1yx的图象如图：-5-两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21xx的解为0x或1x.所以不等式0fx的解集为：,01,.故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP【答案】B【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ的垂直平分线经过点P，即求解.-6-【详解】如图所示：．因为线段FQ的垂直平分线上的点到,FQ的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，PQPF，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8.在等差数列na中，19a，31a．记12(1,2,)nnTaaan……，则数列nT（）．A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项【答案】B【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151aad，则其通项公式为：11912211naandnn，注意到123456701aaaaaaa，且由50T可知06,iTiiN，由117,iiiTaiiNT可知数列nT不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1aaaaaa，-7-故数列nT中的正项只有有限项：263T，46315945T.故数列nT中存在最大项，且最大项为4T.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9.已知,R，则“存在kZ使得(1)kk”是“sinsin”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在kZ使得(1)kk时，若k为偶数，则sinsinsink；若k为奇数，则sinsinsin1sinsinkk；(2)当sinsin时，2m或2m，mZ，即12kkkm或121kkkm，亦即存在kZ使得(1)kk．所以，“存在kZ使得(1)kk”是“sinsin”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算-8-单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（）．A.30303sintannnnB.30306sintannnnC.60603sintannnnD.60606sintannnn【答案】A【解析】【分析】计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长，利用它们的算术平均数作为2的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360606nn，每条边长为302sinn，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为3012sinnn，单位圆的外切正6n边形的每条边长为302tann，其周长为3012tannn，303012sin12tan303026sintan2nnnnnnn，则30303sintannnn.故选：A.【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()ln1fxxx的定义域是____________．【答案】(0,)-9-【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得010xx，0x故答案为：(0,)【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知双曲线22:163xyC，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】(1).3,0(2).3【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C中，6a，3b，则223cab，则双曲线C的右焦点坐标为3,0，双曲线C的渐近线方程为22yx，即20xy，所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为23312.故答案为：3,0；3.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足1()2APABAC，则||PD_________；PBPD_________．【答案】(1).5(2).1-10-【解析】【分析】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD以及PBPD的值.【详解】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点0,0A、2,0B、2,2C、0,2D，1112,02,22,1222APABAC，则点2,1P，2,1PD，0,1PB，因此，22215PD，021(1)1PBPD.故答案为：5；1.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14.若函数()sin()cosfxxx的最大值为2，则常数的一个取值为________．【答案】2（2,2kkZ均可）【解析】【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得22cossin1sinfxx，可得22cossin12，即可解出.-11-【详解】因为22cossinsin1coscossin1sinfxxxx，所以22cossin12，解得sin1，故可取2.故答案为：2（2,2kkZ均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为()Wft，用()()fbfaba的大小评价在[,]ab这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在12,tt这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在