2009四川高考数学(理科)试题及参考答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式24πSR()()()PABPAPB其中R表示球的半径如果事件AB，相互独立，那么球的体积公式34π3VR()()()PABPAPB其中R表示球的半径一、选择题：1.设集合2|5,|4210,SxxTxxx则STＡ.|75xxＢ.|35xxＣ.|53xxＤ.|75xx２.已知函数22log(2)()24(22axxfxxxxx当时在点处当时）连续，则常数a的值是Ａ.２Ｂ.３Ｃ.４Ｄ.５３.复数2(12)34ii的值是Ａ.－１Ｂ.１Ｃ.－iＤ.i4.已知函数()sin()()2fxxxR，下面结论错误．．的是A.函数()fx的最小正周期为2B.函数()fx在区间0,2上是增函数C.函数()fx的图像关于直线0x对称D.函数()fx是奇函数5.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，,2PAABCPAAB平面，则下列结论正确的是Ａ.PBADＢ.平面PABPBC平面C.直线BC∥平面PAEＤ.PDABC直线与平面所成的角为456.已知,,,abcd为实数，且cd。则“ab”是“acbd”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C．充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知双曲线2221(0)2xybb的左右焦点分别为12,FF，其一条渐近线方程为yx，点0(3,)Py在该双曲线上，则12PFPF=A.12B.2C.0D.48.如图，在半径为3的球面上有,,ABC三点，90,ABCBABC，球心O到平面ABC的距离是322，则BC、两点的球面距离是A.3B.C.43D.29.已知直线1:4360lxy和直线2:1lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是A.2B.3C.115D.371610.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.360B.228C.216D.96PFEDCBAABCO12.已知函数()fx是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有(1)(1)()xfxxfx，则5(())2ff的值是A.0B.12C.1D.52第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13.61(2)2xx的展开式的常数项是（用数字作答）14.若⊙221:5Oxy与⊙222:()20()OxmymR相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是15.如图，已知正三棱柱111ABCABC的各条棱长都相等，M是侧棱1CC的中点，则异面直线1ABBM和所成的角的大小是。16．设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射:,fVVaV，记a的象为()fa。若映射:fVV满足：对所有,abV及任意实数,都有()()()fabfafb，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：①设f是平面M上的线性变换，则(0)0f②对,()2aVfaa设，则f是平面M上的线性变换；③若e是平面M上的单位向量，对,()aVfaae设，则f是平面M上的线性变换；④设f是平面M上的线性变换，,abV，若,ab共线，则(),()fafb也共线。其中真命题是（写出所有真命题的序号）ABCA1B1C1M三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）在ABC中，,AB为锐角，角,,ABC所对应的边分别为,,abc，且310cos2,sin510AB（I）求AB的值；（II）若21ab，求,,abc的值。18.（本小题满分12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡。（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望E。19（本小题满分12分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，,,45ABAEFAFEAEF（I）求证：EFBCE平面；（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PMBCE平面？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角FBDA的大小。20（本小题满分12分）已知椭圆2221(0)xyabab的左右焦点分别为12,FF，离心率22e，右准线方程为2x。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点1F的直线l与该椭圆交于,MN两点，且222263FMFN，求直线l的方程。ABCDEFP21.（本小题满分12分）已知0,1aa且函数()log(1)xafxa。（I）求函数()fx的定义域，并判断()fx的单调性；（II）若()*,lim;fnnnanNaa求（III）当ae（e为自然对数的底数）时，设()2()(1)(1)fxhxexm，若函数()hx的极值存在，求实数m的取值范围以及函数()hx的极值。22.（本小题满分14分）设数列na的前n项和为nS，对任意的正整数n，都有51nnaS成立，记*4()1nnnabnNa。（I）求数列nb的通项公式；（II）记*221()nnncbbnN，设数列nc的前n项和为nT，求证：对任意正整数n都有32nT；（III）设数列nb的前n项和为nR。已知正实数满足：对任意正整数,nnRn恒成立，求的最小值。2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学参考答案（1）C（2）B(3)A(4)D(5)D(6)B(7)C(8)B(9)A（10）D(11)B(12)A（13）-20（14）4（15）90（16）①②③1.设集合2|5,|4210,SxxTxxx则STＡ.|75xxＢ.|35xxＣ.|53xxＤ.|75xx【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。解析：由题)3,7(T),5,5(S，故选择C。２.已知函数22log(2)()24(22axxfxxxxx当时在点处当时）连续，则常数a的值是Ａ.２Ｂ.３Ｃ.４Ｄ.５【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。解析：由题得3222log2aa，故选择B。３.复数2(12)34ii的值是Ａ.－１Ｂ.１Ｃ.－iＤ.i【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。解析：12591625)43)(34(43)21(2iiii，故选择A。4.已知函数()sin()()2fxxxR，下面结论错误．．的是A.函数()fx的最小正周期为2B.函数()fx在区间0,2上是增函数C.函数()fx的图像关于直线0x对称D.函数()fx是奇函数【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。（同文4）解：xxfcos)(，其中A、C显然正确，故选择D。5.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，,2PAABCPAAB平面，则下列结论正确的是Ａ.PBADＢ.平面PABPBC平面、C.直线BC∥平面PAEＤ.PDABC直线与平面所成的角为45【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6）解：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作PBAG于G，因面PAB面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由EFBC//，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。PFEDCBA6.已知,,,abcd为实数，且cd。则“ab”是“acbd”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C．充要条件D.既不充分也不必要条件【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）解析：ba推不出acbd；但bdcbadbca，故选择B。7.已知双曲线2221(0)2xybb的左右焦点分别为12,FF，其一条渐近线方程为yx，点0(3,)Py在该双曲线上，则12PFPF=A.12B.2C.0D.4【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）解析：由题知22b，故)0,2(),0,2(,123210FFy，∴0143)1,32()1,32(21PFPF，故选择C。8.如图，在半径为3的球面上有,,ABC三点，90,ABCBABC，球心O到平面ABC的距离是322，则BC、两点的球面距离是A.3B.C.43D.2【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9）解析：由知截面圆的半径323222234189BCr，故3BOC，所以BC、两点的球面距离为33，故选择B。9.已知直线1:4360lxy和直线2:1lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是A.2B.3C.115D.3716【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析：直线2:1lx为抛物线24yx的准线，由抛物线的定义知，P到2l的距离等于P到抛物线的焦点)0,1(F的距离，故本题化为在抛物线24yx上找一个点P使得P到点)0,1(F和直线2l的距离之和最小，最小值为)0,1(F到直线1:4360lxy的距离，即25|604|mind，故选择A。10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）解析：设甲、乙种两种产品各需生产x、y吨，可使利润z最大，故本题即ABCO已知约束条件001832133yxyxyx，求目标函数yxz35的最大值，可求出最优解为43yx，故271215maxz，故选择D。11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.360B.228C.216D.96【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有33222242333AACA种，其中男生甲站两端的有14422