2010四川高考数学(理科)试题及参考答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）第Ⅰ卷一、选择题：（1）i是虚数单位，计算23iii（A）－1（B）1（C）i（D）i（2）下列四个图像所表示的函数，在点0x处连续的是（A）（B）（C）（D）（3）552log10log0.25（A）0（B）1（C）2（D）4（4）函数2()1fxxmx的图像关于直线1x对称的充要条件是（A）2m（B）2m（C）1m（D）1m（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216,BCABACABAC则AM（A）8（B）4（C）2（D）1（6）将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是BCDANMO（A）sin(2)10yx（B）sin(2)5yx（C）1sin()210yx（D）1sin()220yx（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱（8）已知数列na的首项10a，其前n项的和为nS，且112nnSSa，则limnnnaS（A）0（B）12（C）1（D）2（9）椭圆22221()xyabab的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A）20,2（B）10,2（C）21,1（D）1,12（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A）72（B）96（C）108（D）144（11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，BCD是平面内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是（A）17arccos25R（B）18arccos25R（C）13R（D）415RAB（12）设0abc，则221121025()aaccabaab的最小值是（A）2（B）4（C）25（D）52010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）631(2)x的展开式中的第四项是__________．（14）直线250xy与圆228xy相交于A、B两点，则AB________．（15）如图，二面角l的大小是60°，线段AB．Bl，AB与l所成的角为30°．则AB与平面所成的角的正弦值是_________．（16）设S为复数集C的非空子集．若对任意x,yS，都有xy,xy,xyS，则称S为封闭集。下列命题：①集合Sabi（a,b为整数，i为虚数单位）为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足STC的任意集合T也是封闭集．其中真命题是_________________（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。DABCDMOABC（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．（18）（本小题满分12分）已知正方体ABCDACD的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点．（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；（Ⅱ）求二面角MBCB的大小；（Ⅲ）求三棱锥MOBC的体积．（19）（本小题满分12分）（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C:cos()coscossinsin；②由aC推导两角和的正弦公式.sincoscossin)sin(:aaaSa．（Ⅱ）已知△ABC的面积123SABAC，且35cosB，求cosC．（20）（本小题满分12分）已知定点1020A(,),F(,)，定直线12l:x，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于BC、两点，直线ABAC、分别交l于点MN、（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．（21）（本小题满分12分）已知数列na满足1202a,a，且对任意m,nN*都有211212)(22nmaanmnm（Ⅰ）求35a,a；（Ⅱ）设2121nnnbaa(nN*)证明：nb是等差数列；（Ⅲ）设*),0()(112Nnqqaacnnnn，求数列nc的前n项和nS．（22）（本小题满分14分）设11xxaf(x)a（0a且1a），g(x)是f(x)的反函数．（Ⅰ）设关于x的方程217atlogg(x)(x)(x)在区间26,上有实数解，求t的取值范围；（Ⅱ）当ae（e为自然对数的底数）时，证明：22221nknng(k)n(n)；（Ⅲ）当120时，试比较1nkf(k)n与4的大小，并说明理由．参考答案一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。1—6：ADCACC1—12：BBDCAB二、填空题：本题考查基础知识和和基本运算。每小题4分，满分16分。（13）x160（14）32（15）43（16）①②三、解答题（17）本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力。解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么.21625)65(61)()()()(,61)()()(2CPBPAPCBAPCPBPAP答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是21625…………（6分）（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3。的分布列为所以中奖人数.3,2,1,0,)65()61()(343kCkPkk∥=0123P21612572257252161.21216137252722512161250E…………（12分）（18）本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。（Ⅰ）连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK。因为点M是棱AA的中点，点O是DB的中点，所以AMDD21OK所以MOAK,..,,,,,都相交和异面直线与又因为所以所以平面所以因为得DBAAzOMDBBODBAKBDBDAKBBAKBDAKAAMOAKAA的公垂线和为异面直线故DBAAOM。……（4分）（Ⅱ）取,,,BCBCMNMNNBB平面则连结的中点,,MHHCBNHN连结于作过点则由三垂线定理得，.MHCB从而，.的平面角为二面角BCBMMHN.22421tan,.42222145sin,1NHMNMHNMNHRtBNNHMN中在故二面角.22tanatcBCBM的大小为……………………（9分）（Ⅲ）易知，DAMOADBCDAOOBCSSOCBDBC到平面点内都在平面和且,,∥=∥=.21h的距离.24131hDASΔΔVVVDAMODAOMOBCM…………（12分）解法二以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,xyzD（Ⅰ）因为点M是棱,,的中点是点的中点DBOAA所以),,21,21,21(),21,0,1(OM.,,,,002121,0)1,1,1(),1,0,0(),0,21,21(的公垂线和为异面直线故都相交和与异面直线又因为所以DBAAOMDBAAOMDBOMAAOMDBOMAAOMDBAAOM………………（4分）（Ⅱ）设平面).,,(1zyxnCBM的一个法向量为),1,0,1(),21,1,0(CBBM,0,011CBnMBn即.0,021zxzy.,.31191cos(),0,1,0().2,1,2(,1,2,221212121的平面角为锐角二面角由图可知的一个法向量为取平面从而则取BCBMnnnnnnnBCBnyzz故二面角.31arccos的大小为BCBM………………（9分）（Ⅲ）易知，.42214141ΔCDAOBCSS)0,0,1(),1,1,1(),,,(1111CBDBzyxnOBC的一个法向量为设平面.0,031BCnDBn即.0,01111xzyx取).1,1,0(,1,1311nyz从而则点M到平面OBC的距离.22122131nnBMd.241221423131dSVΔOBCABCM………………（12分）（19）本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角的始边使角与aa,,,Ox为交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角的始边为OP2，终边交⊙O于点P4。则),sin,(cos),0,1(21aaPP2222423143]sin)[sin(]cos)[cos()(sin]1)[cos(,).sin(),(cos(),sin(),(cos(aaaaPPPPPaaP得及两点间的距离公式由展开并整理，得).sinsincos(cos22)cos(22aaa.sinsincoscos)cos(aaa…………（4分）②由①易得，.cos)2sin(,sin)2cos(aaaa)]()2cos[()](2cos[)sin(aaa.sincoscossin)sin()2sin()cos()2cos(aaaa.sincoscossin)sin(aaa…………（6分）（Ⅱ）由题意，设BABC的角、C的对边分别为b、c，则.21sin21AbcS.54sin,53cos.10103cos,1010sin,1cossin.sin3cos),2,0(,03cos22BBAAAAAAAAbcACAB得由题意又.1010sinsincoscos)(9cosBABABA.1010)cos()](cos[cosBABAC故…………（12分）（20）本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力。解：（Ⅰ）设则),,(yx