2011四川高考数学(理科)试题及参考答案

2011年全国高等学校招生统一考试四川卷（理数）1.选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上2．本部分共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本大题共l2小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5)2[15.5,19.5)4[19.5，23．5)9[23.5,27.5)18[27.5，31.5)1l[31.5，35.5)12[35.5．39.5)7[39.5,43.5)3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是(A)16(B)13(C)12（D）232．复数1ii=(A)2i（B）12i（C）0（D）2i3．1l，2l，3l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(A)12ll，23ll13ll（B）12ll，23ll13ll[来源:Zxxk.Com](C)233lll1l，2l，3l共面（D）1l，2l，3l共点1l，2l，3l共面4如图，正六边形ABCDEF中，BACDEF=[来源:Zxxk.Com](A)0(B)BE(C)AD(D)CF5函数，()fx在点0xx处有定义是()fx在点0xx处连续的(A)充分而不必要的条件(B)必要而不充分的条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件6.在ABC中．222sinsinsinsinsinBCBC.则A的取值范围是(A)(0，6](B)[6，)(c)(0，3](D)[3，)7．已知()fx是R上的奇函数，且当0x时，1()()12xfx，则()fx的反函数的图像大致是8.数列na的首项为3，nb为等差数列且1(*)nnnbaanN.若则32b，1012b，则8a[来源:Z§xx§k.Com]（A）0（B）3（C）8（D）119.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润（A）4650元（B）4700元（C）4900元（D）5000元10.在抛物线25(0)yxaxa≠上取横坐标为14x，22x的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536xy相切，则抛物线顶点的坐标为（A）(2,9)（B）(0,5)（C）(2,9)（D）(1,6)11.已知定义在0,上的函数()fx满足()3(2)fxfx，当0,2x时，2()2fxxx.设()fx在22,2nn上的最大值为(*)nanN，且na的前n项和为nS，则limnnS（A）3（B）52（C）2（D）3212.在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量(,)ab.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则mn（A）415（B）13（C）25（D）23注意事项：1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.计算121(lglg25)100=4.14.双曲线22xy=1P46436上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P到左准线的距离是.15.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是.16.函数fx（）的定义域为A，若1212xxAfx=fx，且（）（）时总有12x=xfx，则称（）为单函数.例如，函数fx（）=2x+1（xR）是单函数.下列命题：①函数fx（）=2x（xR）是单函数；②若fx（）为单函数，121212xxAxxfxfx，且，则（）（）；③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是.（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数7π3π()sin()cos()44fxxx，x∈R.(1)求函数的最小正周期和最小值；(2)已知4cos()5，4cos()5，π02.求证：[f(β)]2－2＝0.18．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.19．(本小题共l2分)如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1．D是棱CC1上的一[来源:学+科+网Z+X+X+K]P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．(I)求证：CD=C1D：(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离．20．(本小题共12分)设d为非零实数，an=1n[C1nd+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1dn-1+nCnndn](n∈N*).(I)写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设bn=ndan(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．21．(本小题共l2分)[来源:学,科,网Z,X,X,K]椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．(I)当|CD|=322时，求直线l的方程；(II)当点P异于A、B两点时，求证：OP·OQ为定值。22．(本小题共l4分)已知函数f(x)=23x+12,h(x)=x．(I)设函数F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的单调区间与极值；(Ⅱ)设a∈R，解关于x的方程log4[33(1)24fx]=1og2h(a-x)一log2h(4-x)；(Ⅲ)试比较1001(100)(100)()kfhhk与16的大小.2011四川高考数学(理科)参考答案参考答案1．B2．A3．B4．D5．B6．C7．A8．B9．C10．A11．D12．B13．答案：－20.14．答案：1615．答案：2πR216．答案：②③17．解：(1)∵73()sin(2)sin()sin()sin()2sin()442444fxxxxxx．∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)由已知得4coscossinsin5，4coscossinsin5.两式相加得2cosβcosα＝0.∵π02，∴π2.∴22π[()]24sin204f.18．解：(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则1111115()42244416PA.故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.111(0)428P；11115(2)442216P；1111115(4)24424416P；11113(6)244416P；111(8)4416P.甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为ξ02468p18516516316116所以155317024688161616162E＋＋＋＋.19．解：法一：(1)连结AB1与BA1交于点O，连结OD.∵PB1∥平面BDA1，PB1⊂平面AB1P，平面AB1P∩平面BDA1＝OD，∴OD∥PB1.又AO＝B1O，∴AD＝PD.又AC∥C1P，∴CD＝C1D.(2)过A作AE⊥DA1于点E，连结BE.∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC＝A，∴BA⊥平面AA1C1C.由三垂线定理可知BE⊥DA1.∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．在Rt△A1C1D中，22115()122AD.又111511222SAADAE，∴255AE.在Rt△BAE中，2225351()55BE，∴2cos3AEBEABE.故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为23.(3)由题意知，点C到平面B1DP的距离是点C到平面DB1A的距离，设此距离为h.∵VC－DB1A＝VB1－ACD，∴1111133DBAACDShSBA.由已知可得5AP，15PB，12AB，∴在等腰△AB1P中，12211113()222ABPSABAPAB.∴111324DBAABPSS.又1124ACDSACCD，∴11113ACDDBASBAhS.故C到平面B1DP的距离等于13.法二：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)．(1)设C1D＝x，∵AC∥PC1，∴111CPCDxACCDx.由此可得D(0,1，x)，P(0,1,0)1xx，∴1(1,0,1)AB，1(0,1,)ADx，1(1,1,0)1xBPx．设平面BA1D的一个法向量为n1＝(a，b，c)，则111100ABacADbcxnn，令c＝－1，则n1＝(1，x，－1)．∵PB1∥平面BA1D，∴111(1)(1)(1)001xBPxxn.由此可得12x，故CD＝C1D.(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量11(1,,1)2n．又n2＝(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，∴121212·12cos3||||312〈，〉nnnnnn.故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为23.(3)∵1(1,2,0)PB，1(0,1,)2PD，设平面B1DP的一个法向量n3＝(a1，b1，c1)，则31111312002PBabcPDbnn，令c1＝1，可得31(1,,1)2n．又1(0,0,)2DC．∴C到平面B1DP的距离33||1||3DCdnn.20．解：(1)由已知可得a1＝d，a2＝d(1＋d)，a3＝d(1＋d)2.当n≥2，k≥1时，11CCkknnkn.因此11111110CCC(1)nnnkkkkkknnnnnkkkkaddddddn.由此可见，当d≠－1时，{an}是以d为首项，d＋1为公比的等比数列；当d＝－1时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}不是等比数列．(2)由(1)可知，an＝d(d＋1)n－1，从而bn＝nd2(d＋1)n－1，Sn＝d2[1＋2(d＋1)＋3(d＋1)2＋…＋(n－1)(d－1)n－2＋n(d＋1)n－1]．①当d＝－1时，Sn＝d2＝1.当d≠－1时，①式两边同乘