第1页共11页2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷(选择题共50分)注意事项:必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。第Ⅰ卷共10小题。一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。1.已知集合2{|20}Axxx,集合B为整数集,则ABA.{1,0,1,2}B.{2,1,0,1}C.{0,1}D.{1,0}2.在6(1)xx的展开式中,含3x项的系数为A.30B.20C.15D.103.为了得到函数sin(21)yx的图象,只需把函数sin2yx的图象上所有的点A.向左平行移动12个单位长度B.向右平行移动12个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.若0ab,0cd,则一定有A.abcdB.abcdC.abdcD.abdc5.执行如图1所示的程序框图,如果输入的,xyR,则输出的S的最大值为A.0B.1C.2D.36.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有A.192种B.216种C.240种D.288种7.平面向量(1,2)a,(4,2)b,cmab(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则mA.2B.1C.1D.28.如图,在正方体1111ABCDABCD中,点O为线段BD的中点。设点P在线段1CC上,直线OP与平面1ABD所成的角为,则sin的取值范围是第2页共11页BCA.3[,1]3B.6[,1]3C.622[,]33D.22[,1]39.已知()ln(1)ln(1)fxxx,(1,1)x。现有下列命题:①()()fxfx;②22()2()1xffxx;③|()|2||fxx。其中的所有正确命题的序号是A.①②③B.②③C.①③D.①②10.已知F是抛物线2yx的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,2OAOB(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是A.2B.3C.1728D.10第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。第Ⅱ卷共11小题。二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。11.复数221ii。12.设()fx是定义在R上的周期为2的函数,当[1,1)x时,242,10,(),01,xxfxxx,则3()2f。13.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67,30,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于m。(用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据:sin670.92,cos670.39,sin370.60,cos370.80,31.73)14.设mR,过定点A的动直线0xmy和过定点B的动直线30mxym交于点(,)Pxy,则||||PAPB的最大值是。15.以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数()x组成的集合:对于函数()x,存在一个正数M,使得函数()x的值域包含于区间[,]MM。例如,当31()xx,2()sinxx时,1()xA,2()xB。现有如下命题:①设函数()fx的定义域为D,则“()fxA”的充要条件是“bR,aD,第3页共11页()fab”;②函数()fxB的充要条件是()fx有最大值和最小值;③若函数()fx,()gx的定义域相同,且()fxA,()gxB,则()()fxgxB;④若函数2()ln(2)1xfxaxx(2x,aR)有最大值,则()fxB。其中的真命题有。(写出所有真命题的序号)三.解答题:本大题共6小题,共75分。解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)已知函数()sin(3)4fxx.(1)求()fx的单调递增区间;(2)若是第二象限角,4()cos()cos2354f,求cossin的值.17.(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得200分)。设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立。(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.(本小题满分12分)三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图所示。设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MNNP.(1)证明:P为线段BC的中点;(2)求二面角ANPM的余弦值.19.(本小题满分12分)CABDMNP第4页共11页设等差数列{}na的公差为d,点(,)nnab在函数()2xfx的图象上(*nN).(1)若12a,点87(,4)ab在函数()fx的图象上,求数列{}na的前n项和nS;(2)若11a,函数()fx的图象在点22(,)ab处的切线在x轴上的截距为12ln2,求数列{}nnab的前n项和nT.20.(本小题满分13分)已知椭圆C:22221xyab(0ab)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线3x上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当||||TFPQ最小时,求点T的坐标.21.(本小题满分14分)已知函数2()1xfxeaxbx,其中,abR,2.71828e为自然对数的底数.(1)设()gx是函数()fx的导函数,求函数()gx在区间[0,1]上的最小值;(2)若(1)0f,函数()fx在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围2014年普通高等学校招生全国统一考试理科(四川卷)第5页共11页参考答案一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。1.【答案】A【解析】{|12}Axx,BZ,故AB{1,0,1,2}2.【答案】C【解析】含3x项为24236(1)15xCxx3.【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2yxx,故可由函数sin2yx的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4.【答案】D【解析】由1100cddc,又0ab,由不等式性质知:0abdc,所以abdc5.【答案】C【解析】当001xyxy时,函数2Sxy的最大值为2.6.【答案】B【解析】当最左端为甲时,不同的排法共有55A种;当最左端为乙时,不同的排法共有14C44A种,共有55A+14C44A924216种7.【答案】D【解析1】(4,22)cmm因为cos,||||cacaca,cos,||||cbcbcb,所以||||||||cacbcacb,又||2||ba所以2cacb即2[(4)2(22)]4(4)2(22)mmmm2m【解析2】由几何意义知c为以ma,b为邻边的菱形的对角线向量,又||2||ba故2m8.【答案】B【解析】直线OP与平面1ABD所成的角为的取值范围111[,][,]22AOACOA,由于16sin3AOA,1163226sin23333COA,sin12第6页共11页所以sin的取值范围是6[,1]39.【答案】A【解析】()ln(1)ln(1)()fxxxfx故①正确1()ln(1)ln(1)ln1xfxxxx2222212111()lnln()2ln2()211111xxxxxffxxxxxx当[0,1)x时,|()|2||()20fxxfxx令()()2ln(1)ln(1)2gxfxxxxx([0,1)x)因为22112()20111xgxxxx,所以()gx在[0,1)单增,()()2(0)0gxfxxg即()2fxx,又()fx与2yx为奇函数,所以|()|2||fxx成立故③正确10.【答案】B【解析】设直线AB的方程为:xtym,点11(,)Axy,22(,)Bxy,又1(,0)4F,直线AB与x轴的交点(0,)Mm(不妨假设10y)由220xtymytymyx,所以12yym又21212121222()20OAOBxxyyyyyy因为点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,所以122yy,故2m于是121111111192922()2322488ABOAFOSSyyyyyyy当且仅当11192483yyy时取“”,所以ABO与AFO面积之和的最小值是3二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。11.【答案】2i【解析】22222(1)(1)21(1)(1)iiiiiii12.【答案】1【解析】2311()()4()21222ff13.【答案】60第7页共11页【解析】92AC,9292sinsin370.6060sinsin670.92ACBCAB14.【答案】5【解析】(0,0)A,(1,3)B,因为PAPB,所以222||||||10PAPBAB故22||||||||52PAPBPAPB(当且仅当||||5PAPB时取“”)15.【答案】①③④三.解答题:本大题共6小题,共75分。解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。16.解:(1)由232242kxk2234312kkx所以()fx的单调递增区间为22[,]34312kk(kZ)(2)由4()cos()cos2354f4sin()cos()cos2454因为cos2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444所以28sin()cos()sin()4544又是第二象限角,所以sin()04或25cos()48①由3sin()022444kk(kZ)所以33cossincossin244②由25515cos()cos()(cossin)48422222所以5cossin2综上,cossin2或5cossin217.解:(1)X可能取值有200,10,20,1000033111(200)()(1)228PXC,1123113(10)()(1)228PXC,2213113(20)()(1)228PXC,3303111(100)()(1)228PXC故分布列为X2001