2016四川高考数学(理科)试题及参考答案

2016四川省高考理科数学试题解析本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设集合{|22}Axx，Z为整数集，则集合AZ中元素的个数是（）A．3B．4C．5D．62.设i为虚数单位，则6(i)x的展开式中含4x的项为（）A．415xB．415xC．420ixD．420ix3.为了得到函数πsin23yx的图象，只需把函数sin2yx的图象上所有的点（）A．向左平行移动π3个单位长度B．向右平行移动π3个单位长度C．向左平行移动π6个单位长度D．向右平行移动π6个单位长度4.用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24B．48C．60D．725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n，x的值分别为3，2.则输出v的值为（）A．9B．18C．20D．357.设p：实数x，y满足22(1)(1)2xy，q：实数x，y满足1,1,1,yxyxy则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(0)ypxp上任意一点，M是线段PF上的点，且||2||PMMF，则直线OM斜率的最大值为（）A．33B．23C．22D．19.设直线1l，2l分别是函数ln,01,()ln,1,xxfxxx图象上点1P，2P处的切线，1l与2l垂直相交于点P，且1l，2l分别与y轴相交于点A，B，则PAB△的面积的取值范围是（）A．0,1B．(0,2)C．(0,)D．(1,)10.在平面内，定点A，B，C，D满足||=||=||DADBDC，2DADBDBDCDCDA，动点P，M满足||=1AP，PMMC，则2||BM的最大值是（）A．434B．494C．37634D．372334第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.22ππcossin=88__________．12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是__________．13.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．14.已知函数()fx是定义在R上的周期为2的奇函数，当01x时，()4xfx，则5(1)2ff__________.15.在平面直角坐标系中，当(,)Pxy不是原点时，定义P的“伴随点”为2222',yxPxyxy；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点'A，则点'A的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”'C关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或步骤．16.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III）若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.a0.520.400.160.120.080.044.543.532.521.510.50月均用水量（吨）组距频率17.（本小题满分12分）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且coscossinABCabc.（I）证明：sinsinsinABC；（II）若22265bcabc，求tanB.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，//ADBC，90ADCPAB，12BCCDAD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线//CM平面PBE，并说明理由；（II）若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）已知数列{}na的首项为1，nS为数列{}na的前n项和，11nnSqS，其中0q，*nN.（I）若2322,,2aaa成等差数列，求na的通项公式；（II）设双曲线2221nyxa的离心率为ne，且253e，证明：121433nnnneee.PAEDCB20.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线:3lyx与椭圆E有且只有一个公共点T.（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；（II）设O是坐标原点，直线'l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得2||||||PTPAPB，并求的值.21.（本小题满分14分）设函数2()lnfxaxax，其中Ra.（I）讨论()fx的单调性；（II）确定a的所有可能取值，使得11()exfxx在区间(1,+)内恒成立（e2.718…为自然对数的底数）.2016四川省高考理科数学试题解析本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设集合{|22}Axx，Z为整数集，则集合AZ中元素的个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】由题可知，{2,1,0,1,2}AZ，则AZ中元素的个数为5选C2.设i为虚数单位，则6(i)x的展开式中含4x的项为（）A．415xB．415xC．420ixD．420ix【答案】A【解析】由题可知，含4x的项为24246Ci15xx选A3.为了得到函数πsin23yx的图象，只需把函数sin2yx的图象上所有的点（）A．向左平行移动π3个单位长度B．向右平行移动π3个单位长度C．向左平行移动π6个单位长度D．向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题可知，ππsin2sin236yxx，则只需把sin2yx的图象向右平移6个单位选D4.用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24B．48C．60D．72【答案】D【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有13C，再将剩下的4个数字排列得到44A，则满足条件的五位数有1434CA72.选D5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【答案】B【解析】设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元由题可知，130112%200x，解得1.12200lg2lg1.3log3.80130lg1.12x，因资金需超过200万，则x取4，即2019年选B6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n，x的值分别为3，2.则输出v的值为（）A．9B．18C．20D．35【答案】B【解析】初始值3,2nx，程序运行过程如下表所示1v2i1224v1i4219v0i92018v1i跳出循环，输出18v选B7.设p：实数x，y满足22(1)(1)2xy，q：实数x，y满足1,1,1,yxyxy则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】如图，22112xy≤①表示圆心为1,1，半径为2的圆内区域所有点（包括边界）；1,1,1yxyxy≥≥≤②表示ABC内部区域所有点（包括边界）.实数,xy满足②则必然满足①，反之不成立.则p是q的必要不充分条件.故选A(1,1)1y=1y=x1y=x(0,1)A(1,0)B(2,1)CyxO8.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(0)ypxp上任意一点，M是线段PF上的点，且||2||PMMF，则直线OM斜率的最大值为（）A．33B．23C．22D．1【答案】C【解析】如图，由题可知,02pF，设P点坐标为200,2yypyxOFPM显然，当00y时，0OMk；00y时，0OMk，要求OMk最大值，不妨设00y.则2001112,3333633yypOMOFFMOFFPOFOPOFOPOFp020002223222263OMykypyppyp≤，当且仅当2202yp等号成立故选C9.设直线1l，2l分别是函数ln,01,()ln,1,xxfxxx图象上点1P，2P处的切线，1l与2l垂直相交于点P，且1l，2l分别与y轴相交于点A，B，则PAB△的面积的取值范围是（）A．0,1B．(0,2)C．(0,)D．(1,)【答案】A【解析】方法一：设11122212(,),(,)()PxyPxyxx，易知11x，21x，121211,llkkxx，121xx则直线1l：111lnxyxx，2221:ln1lyxxx，与y轴的交点为12(0,1ln),(0,ln1)xx设21ax，则交点横坐标为21aa，与y轴的交点为(0,ln1),(0,ln1)aa，则1222112PABSaaaa，故(0,1)PABS