2009年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）一、选择题（每小题5分）（1）i是虚数单位，=（A）1+2i（B）-1-2i（C）1-2i（D）-1+2i（2）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为（A）6（B）7（C）8（D）23（3）命题“存在R，0”的否定是（A）不存在R,0（B）存在R,0（C）对任意的R,0（D）对任意的R,0（4）设函数则A在区间内均有零点。B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。52ii3123xyxyxy0x02x0x02x0x02xx2xx2x1()ln(0),3fxxxx()yfx1(,1),(1,)ee1(,1),(1,)ee1(,1)e(1,)e1(,1)e(1,)e（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=A26B35C40D57(6）设若的最小值为A8B4C1D（7）已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度（8）已知函数若则实数的取值范围是ABCD（9）．设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的成面积之比=0,0.ab11333abab是与的等比中项，则14()sin()(,0)4fxxxR()cosgxx()yfx8844224,0,4,0,()xxxxxxfx2(2)(),fafaa(,1)(2,)(1,2)(2,1)(,2)(1,)2y3BFBCFACFSS（A）（B）（C）（D）（10）.0＜b＜1+a,若关于x的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则（A）-1＜a＜0（B）0＜a＜1（C）1＜a＜3（D）3＜a＜6二．填空题：（6小题，每题4分，共24分）（11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=_______(13)设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______(14)若圆与圆（a0）的公共弦的长为，则a=___________(15)在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是（16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（满分12分）在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA(I)求AB的值：(II)求sin的值（18）（满分12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。（19）（满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=452347122()xb2()ax331l113xtyt2l1l2l224xy22260xyay23ABDC113BABCBDBABCBD524AAD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值（20）（满分12分）已知函数其中（1）当时，求曲线处的切线的斜率；（2）当时，求函数的单调区间与极值。（21）（满分14分）以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。（1）求椭圆的离心率（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值（22）（满分14分）已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q1）。设=+…..+,=-+…..+(-1,n(I)若==1，d=2，q=3，求的值；(II)若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；(Ⅲ)若正数n满足2nq，设的两个不同的排列，，证明。2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）1222()(23)(),xfxxaxaaexRaR0a()(1,(1))yfxf在点23a()fx22221(0)xyabab12(,0)(,0)(0)FcFcc和2(,0)aEc,AB1212//,2FAFBFAFB2FB(,)(0)Hmnm1AFCnmnanbns11ab22abnnabnT11ab22ab1)nnnabN1a1b3S1b2nS2nT222(1)1ndqqqN1212,,...,,,...,12...nnkkklll和是，，，n12112...nkkkncababab12212...nlllncababab12cc数学（理工类）参考解答一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。（1）D（2）B（3）D（4）D（5）C（6）B（7）A（8）C（9）A（10）C二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。（11）40（12）（13）（14）1（15）（16）324三．解答题（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，于是AB=（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=于是sinA=从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A=所以sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=(18)本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123PX的数学期望EX=（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而P(A2)=P(X=2)=,P(A3)=P(X=3)=,35103ABCCABsinsin522sinsinBCBCAC5522222ACABBDACAB55cos12A5453444102Ck3CCkk373CCCkk31037324740214071203109120134072402112470,403)(31023131CCCAP4071201所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=(19)本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°（II）证明：因为（III）由（I）可得，w方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得（I）所以异面直线与所成的角的大小为.403407120112031//////a2.CEMPMP.CEDMCEM，则连结的中点，所以为且DEDC.CDEAMDCDECE.AMDCEMDMMP平面，所以平面平面而平面，故又因为，所以因为，的中点，连结为解：设.CDEQDECE.EQPQCDQ.ECDAEQPCDPQPDPC的平面角为二面角，故，所以.2226EQaPQaPQEP，，，中，于是在33cosEPQRtEQPQEQPA，1AB，，，001B，，，011C，，，020D，，，110E，，，100F.21121M，，，，，解：101BF，，，110DE.2122100DEBFDEBFDEcos，于是BFBFDE060（II）证明：，（III）又由题设，平面的一个法向量为（20）本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。（I）解：（II）以下分两种情况讨论。（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗，，，由21121AM，，，101CE0AMCE020AD，可得，，.AMDCEAADAM.ADCEAMCE.0ADCE平面，故又，因此，.CDEAMDCDECE平面，所以平面平面而.0D0)(CDEEuCEuzyxu，，则，，的法向量为解：设平面.111(1.00），，，可得令，于是uxzyzxACD).100(，，v.3313100cosvuvuvu，所以，.3)1(')2()(')(022efexxxfexxfaxx，故，时，当.3))1(,1()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线.42)2()('22xeaaxaxxf解：.2232.220)('aaaaxaxxf知，由，或，解得令a若32a22ax)()('xfxf，xa2，a222aa，2a，2a.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，，在所以aaaaxf.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极大值在函数.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极小值在函数（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗（21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分（I）解：由//且，得，从而整理，得，故离心率解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为设直线AB的方程为，即.由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而①②由题设知，点B为线段AE的中点，所以a若32a22ax)()('xfxf，x2a，2aaa22，a2，a2内是减函数。，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(aaaaxf.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极大值在函数.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极小值在函数1FA2FB12FA2FB2211EFFB1