2012年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

1/202012年普通高等学校招生统一考试数学天津（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i是虚数单位，复数ii37=（A）2+i（B）2–i（C）-2+i（D）-2–i（2）设,R则“0”是“))(cos()(Rxxxf为偶函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分与不必要条件（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为-25时，输出x的值为（A）-1（B）1（C）3（D）9（4）函数22)(3xxfx在区间(0,1)内的零点个数是（A）0（B）1（C）2（D）3（5）在52)12(xx的二项展开式中，x的系数为（A）10（B）-10（C）40（D）-40（6）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是cba,,，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（A）257（B）257（C）257（D）2524（7）已知ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足ABAP，ACAQ)1(，2/20R，若32BQCP，则=（A）21（B）221（C）2101（D）2223（8）设Rnm,，若直线02)1()1(ynxm与圆1)1()1(22yx相切，则m+n的取值范围是（A）]31,31[（B）),31[]31,(（C）]222,222[（D）),222[]222,(第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取________所学校.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3.（11）已知集合32xxRA，集合},0)2)((|{xmxRxB且),,1(nBA则m=__________，n=__________.（12）已知抛物线的参数方程为ptyptx2,22（t为参数）,其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=_________.（13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=23，则线段CD的长为____________.（14）已知函数112xxy的图象与函数2kxy的图象恰有两个交点，则实数k的取3/20值范围是_________.三．解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知函数.,1cos2)32sin()32sin()(2Rxxxxxf（Ⅰ）求函数)(xf的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(xf在区间]4,4[上的最大值和最小值.（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记YX，求随机变量的分布列与数学期望E.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）证明PC⊥AD；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.（18）（本小题满分13分）已知}{na是等差数列，其前n项和为Sn，}{nb是等比数列，且27,24411baba，1044bS.（Ⅰ）求数列}{na与}{nb的通项公式；（Ⅱ）记nnnnbababaT1211，*Nn，证明nnnbaT10212（*Nn）.4/20（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点分别为BA，，点P在椭圆上且异于BA，两点，O为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为21，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若OAAP，证明直线OP的斜率k满足3k（20）（本小题满分14分）已知函数)ln()(axxxf的最小值为0，其中.0a（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的),,0[x有)(xf≤2kx成立，求实数k的最小值；（Ⅲ）证明nini12)12ln(122（*Nn）.5/20试卷解析【试卷总评】今年天津市高考理科数学试卷所涉及的考点较去年变化不大，试题难度较去年有一定的下滑，着重考查学生的基础知识的掌握以及推导、运算和数形结合的能力。有如下特点：1.2012年的数学试题考点与去年几乎相同，而仅有的几处不同的考点在2007-2010年也相继考过，明细如下：零点存在定理（小题）——2009年、2010年线线垂直——2007年错位相减法——2007年，解析几何之斜率问题（大题）。2.2012年削弱了对数列的考察，小题不再涉及数列。而解答题18题是数列中极为传统的考法——求等差等比数列的通项公式与错位相减法;而在第20题的第三问继续考查数列不等式的内容。3.三角函数解答题在2011年考查了正切函数的性质和运算，而今年则回归了以往的考查方式，考查了正余弦函数的性质。4.加大了解析几何的难度，在考查题数不变的情况下，将直线和圆放在了选择压轴题的位置，椭圆大题放在第数第二题(第19题)的位置。5.函数大题难度与去年基本持平。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i是虚数单位，复数ii37=（A）2+i（B）2–i（C）-2+i（D）-2–i（2）设,R则“0”是“))(cos()(Rxxxf为偶函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分与不必要条件6/20（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为-25时，输出x的值为（A）-1（B）1（C）3（D）9（4）函数22)(3xxfx在区间(0,1)内的零点个数是（A）0（B）1（C）2（D）3（5）在52)12(xx的二项展开式中，x的系数为（A）10（B）-10（C）40（D）-407/20（6）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是cba,,，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（A）257（B）257（C）257（D）2524（7）已知ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足ABAP，ACAQ)1(，R，若32BQCP，则=（A）21（B）221（C）2101（D）22238/20（8）设Rnm,，若直线02)1()1(ynxm与圆1)1()1(22yx相切，则m+n的取值范围是（A）]31,31[（B）),31[]31,(（C）]222,222[（D）),222[]222,(应用.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所9/20学校，中学中抽取________所学校.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3.（11）已知集合32xxRA，集合},0)2)((|{xmxRxB且),,1(nBA则m=__________，n=__________.（12）已知抛物线的参数方程为ptyptx2,22（t为参数）,其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=_________.【答案】2【解析】由抛物线的参数方程可知其普通方程为22(0).,,ypxpEFMFMEMFMEF为等边三角形，E的横坐标为,2pM的横坐标为3，32,2.22ppp【考点定位】本题考查抛物线的方程、定义和其几何性质，考查学生的转化能力和计算能力.10/20（13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=23，则线段CD的长为____________.（14）已知函数112xxy的图象与函数2kxy的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.三．解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）FECDBA11/20已知函数.,1cos2)32sin()32sin()(2Rxxxxxf（Ⅰ）求函数)(xf的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(xf在区间]4,4[上的最大值和最小值.（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记YX，求随机变量的分布列与数学期望E.【解析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件iA(0,1,2,3,4)i则4412()()()33iiiiPAC.12/20（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）证明PC⊥AD；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.13/2014/20【考点定位】本小题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成德角、直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好15/20使用空间直角坐标系解决该问题为好.（18）（本小题满分13分）已知}{na是等差数列，其前n项和为Sn，}{nb是等比数列，且27,24411baba，1044bS.（Ⅰ）求数列}{na与}{nb的通项公式；（Ⅱ）记nnnnbababaT1211，*Nn，证明nnnbaT10212（*Nn）.16/2011kkabqT（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点分别为BA，，点P在椭圆上且异于BA，两点，O为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为21，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若OAAP，证明直线OP的斜率k满足3k17/20（20）（本小题满分14分）已知函数)ln()(axxxf的最小值为0，其中.0