2017年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试天津数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A)P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh.·球的体积公式343VR.其中S表示棱柱的底面面积，其中R表示球的半径．h表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}ABCxxR，则()ABC（A）{2}（B）{1,2,4}（C）{1,2,4,6}（D）{|15}xxR（2）设变量,xy满足约束条件20,220,0,3,xyxyxy则目标函数zxy的最大值为（A）23（B）1（C）32（D）3（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（A）0（B）1（C）2（D）3（4）设R，则“ππ||1212”是“1sin2”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F，离心率为2.若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A）22144xy（B）22188xy（C）22148xy（D）22184xy（6）已知奇函数()fx在R上是增函数，()()gxxfx.若2(log5.1)ag，0.8(2)bg，(3)cg，则a，b，c的大小关系为（A）abc（B）cba（C）bac（D）bca（7）设函数()2sin()fxx，xR，其中0，||.若5()28f，()08f，且()fx的最小正周期大于2，则（A）23，12（B）23，12（C）13，24（D）13，24（8）已知函数23,1,()2,1.xxxfxxxx设aR，若关于x的不等式()||2xfxa在R上恒成立，则a的取值范围是（A）47[,2]16（B）4739[,]1616（C）[23,2]（D）39[23,]16第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）已知aR，i为虚数单位，若i2ia为实数，则a的值为.（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.（11）在极坐标系中，直线4cos()106与圆2sin的公共点的个数为___________.（12）若,abR，0ab，则4441abab的最小值为___________.（13）在ABC△中，60A∠，3AB，2AC.若2BDDC，()AEACABR，且4ADAE，则的值为___________.（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知ab，5,6ac，3sin5B.（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A的值.16.（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234.（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.（17）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，90BAC.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长.18.（本小题满分13分）已知{}na为等差数列，前n项和为()nSnN，{}nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312bb,3412baa，11411Sb.（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}nnab的前n项和()nN.（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线22(0)ypxp的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D.若APD△的面积为62，求直线AP的方程.（20）（本小题满分14分）设aZ，已知定义在R上的函数432()2336fxxxxxa在区间(1,2)内有一个零点0x，()gx为()fx的导函数.（Ⅰ）求()gx的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]mxx，函数0()()()()hxgxmxfm，求证：0()()0hmhx；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数,pq，且00[1,)(,2],pxxq满足041||pxqAq.天津理数答案1-4BDCA5-8BCAA9.−2；10.9π2；11.2；12.4；13.311；14.108015.（Ⅰ）解：在ABC△中，因为ab，故由3sin5B，可得4cos5B.由已知及余弦定理，有2222cos13bacacB，所以13b.由正弦定理sinsinabAB,得sin313sin13aBAb.所以，b的值为13，sinA的值为31313.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及ac，得213cos13A，所以12sin22sincos13AAA，25cos212sin13AA.故πππ72sin(2)sin2coscos2sin44426AAA.16.（Ⅰ）解：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.1111(0)(1)(1)(1)2344PX，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424PX，1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344PX，1111(3)23424PX.所以，随机变量X的分布列为X0123P14112414124随机变量X的数学期望1111113()012342442412EX.（Ⅱ）解：设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)PYZPYZPYZPYPZPYPZ1111111142424448.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.如图，以A为原点，分别以AB，AC，AP方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（Ⅰ）证明：DE=（0，2，0），DB=（2，0，2）.设(,,)xyzn，为平面BDE的法向量，则00DEDBnn，即20220yxz.不妨设1z，可得(1,0,1)n.又MN=（1，2，1），可得0MNn.因为MN平面BDE，所以MN//平面BDE.（Ⅱ）解：易知1(1,0,0)n为平面CEM的一个法向量.设2(,,)xyzn为平面EMN的法向量，则2200EMMNnn，因为(0,2,1)EM，(1,2,1)MN，所以2020yzxyz.不妨设1y，可得2(4,1,2)n.因此有1212124cos,|||21nnnn|nn，于是12105sin,21nn.所以，二面角C—EM—N的正弦值为10521.（Ⅲ）解：依题意，设AH=h（04h），则H（0，0，h），进而可得(1,2,)NHh，(2,2,2)BE.由已知，得2|||22|7|cos,|21||||523NHBEhNHBENHBEh，整理得2102180hh，解得85h，或12h.所以，线段AH的长为85或12.18.【解析】（I）设等差数列{}na的公差为d，等比数列{}nb的公比为q.由已知2312bb，得21()12bqq，而12b，所以260qq.又因为0q，解得2q.所以，2nnb.由3412baa，可得138da①.由114=11Sb，可得1516ad②，联立①②，解得11a，3d，由此可得32nan.所以，数列{}na的通项公式为32nan，数列{}nb的通项公式为2nnb.（II）解：设数列221{}nnab的前n项和为nT，由262nan，12124nnb，有221(31)4nnnabn，故23245484(31)4nnTn，23414245484(34)4(31)4nnnTnn，上述两式相减，得231324343434(31)4nnnTn1112(14)4(31)414(32)48.nnnnn得1328433nnnT.所以，数列221{}nnab的前n项和为1328433nn.19.（Ⅰ）解：设F的坐标为(,0)c.依题意，12ca，2pa，12ac，解得1a，12c，2p，于是22234bac.所以，椭圆的方程为22413yx，抛物线的方程为24yx.（Ⅱ）解：设直线AP的方程为1(0)xmym，与直线l的方程1x联立，可得点2(1,)Pm，故2(1,)Qm.将1xmy与22413yx联立，消去x，整理得22(34)60mymy，解得0y，或2634mym.由点B异于点A，可得点222346(,)3434mmBmm.由2(1,)Qm，可学*科.网得直线BQ的方程为22262342()(1)(1)()03434mmxymmmm，令0y，解得222332mxm，故2223(,0)32mDm.所以2222236||13232mmADmm.又因为APD△的面积为62，故221626232||2mmm，整理得2326||20mm，解得6||3m，所以63m