2019年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件A、B互斥，那么()()()PABPAPB．·如果事件A、B相互独立，那么()()()PABPAPB．·圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高．·棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}ABCxxR，则()ACBA．2B．2,3C．1,2,3D．1,2,3,42．设变量,xy满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy则目标函数4zxy的最大值为A．2B．3C．5D．63．设xR，则“250xx”是“|1|1x”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为A．5B．8C．24D．295．已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l，若l与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且||4||ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为A．2B．3C．2D．56．已知5log2a，0.5og2.l0b，0.20.5c，则,,abc的大小关系为A．acbB．abcC．bcaD．cab7．已知函数()sin()(0,0,||)fxAxA是奇函数，将yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为gx．若gx的最小正周期为2π，且24g，则38fA．2B．2C．2D．28．已知aR，设函数222,1,()ln,1.xaxaxfxxaxx若关于x的不等式()0fx在R上恒成立，则a的取值范围为A．0,1B．0,2C．0,eD．1,e2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．i是虚数单位，则5ii1的值为_____________．10．83128xx的展开式中的常数项为_____________．11．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．12．设aR，直线20axy和圆22cos,12sinxy（为参数）相切，则a的值为_____________．13．设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为_____________．14．在四边形ABCD中，,23,5,30ADBCABADA∥，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BDAE_____________．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc．已知2bca，3sin4sincBaC．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求sin26B的值．16．（本小题满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．17．（本小题满分13分）如图，AE平面ABCD，,CFAEADBC∥∥，,1,2ADABABADAEBC．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角EBDF的余弦值为13，求线段CF的长．18．（本小题满分13分）设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若||||ONOF（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率．19．（本小题满分14分）设na是等差数列，nb是等比数列．已知1122334,622,24abbaba，．（Ⅰ）求na和nb的通项公式；（Ⅱ）设数列nc满足111,22,2,1,,kknkkcncbn其中*kN．（i）求数列221nnac的通项公式；（ii）求2*1niiiacnN．20．（本小题满分14分）设函数()ecos,()xfxxgx为fx的导函数．（Ⅰ）求fx的单调区间；（Ⅱ）当,42x时，证明()()02fxgxx；（Ⅲ）设nx为函数()()1uxfx在区间2,242nn内的零点，其中nN，证明20022sincseonnnxxx．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】【分析】先求AB，再求()ACB。【详解】因为{1,2}AC，所以(){1,2,3,4}ACB.故选D。【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2.设【答案】C【解析】【分析】画出可行域，用截距模型求最值。【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。目标函数的几何意义是直线4yxz在y轴上的截距，故目标函数在点A处取得最大值。由20,1xyx，得(1,1)A，所以max4(1)15z。故选C。【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．3.【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】250xx，即05x，11x等价于02x，故05x推不出11x；由11x能推出05x。故“250xx”是“|1|1x”的必要不充分条件。故选B。【点睛】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．4.【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果。【详解】详解：1,2Si11,1225,3jSi8,4Si，结束循环，故输出8。故选B。【点睛】解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；③要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．5.【答案】D【解析】【分析】只需把4ABOF用,,abc表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。【详解】l的方程为1x，双曲线的渐近线方程为byxa，故得(1,),(1,)bbABaa，所以2bABa，24ba，2ba，所以225cabeaa。故选D。【点睛】双曲线22221(0,0)xyabab的离心率21cbeaa。6【答案】A【解析】【分析】利用利用10,,12等中间值区分各个数值的大小。【详解】551log2log52a，0.50.5log0.2log0.252b，10.200.50.50.5，故112c，所以acb。故选A。【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待。7.【答案】A【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出,,A值即可。【详解】()fx为奇函数，可知(0)sin0fA，由可得0；把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得1()sin2gxAx，由()gx的最小正周期为2可得2，由()24g，可得2A，所以()2sin2fxx，33()2sin284f。故选C。【点睛】在0x处有定义的奇函数必有(0)0f。8.【答案】C【解析】【分析】先判断0a时，2220xaxa在(,1]上恒成立；若ln0xax在(1,)上恒成立，转化为lnxax在(1,)上恒成立。【详解】首先(0)0f，即0a，当01a时，2222()22()22(2)0fxxaxaxaaaaaaa，当1a时，(1)10f，故当0a时，2220xaxa在(,1]上恒成立；若ln0xax在(1,)上恒成立，即lnxax在(1,)上恒成立，令()lnxgxx，则2ln1'()(ln)xgxx，易知xe为函数()gx在(1,)唯一的极小值点、也是最小值点，故max()()gxgee，所以ae。综上可知，a的取值范围是[0,]e。故选C。【点睛】()afx在D上恒成立，等价于min(),afxxD；()afx在D上恒成立，等价于max(),afxxD。第Ⅱ卷二.填空题：本大题共6小题.9.i是虚数单位，则51ii的值为________.【答案】13【解析】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。【详解】解法一：5(5)(1)23131(1)(1)iiiiiii。解法二：552613112iiii。【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．10.83128xx是展开式中的常数项为________.【答案】28【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r的值，再求出其常数项。【详解】8848418831(2)()(1)28rrrrrrrrTCxCxx，由840r，得2r=，故所求的常数项为228(1)28C.【点睛】二项式中含有负号时，要把负号与其后面的字母看作一个整体，计算中要特别注意符号。11.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_______.【答案】π4【解析】【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。【详解】四棱锥的高为512，