2015年安徽高考数学(理科)真题(带答案)

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2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第1至第2页,第II卷第3至第4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。考生注意事项:1.答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2.答第I卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。3.答第II卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上....书写,要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡...规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在答题卷、草....................稿纸上答题无效.......。4.考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。参考公式:第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10个小题;每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的。(1)设i是虚数单位,则复数21ii在复平面内所对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(A)ycosx(B)ysinx(C)ynlx(D)21yx(3)设p:1x2,q:2x1,则p是q成立的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件4、下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为2yx的是()(A)2214yx(B)2214xy(C)2214yx(D)2214xy5、已知m,n是两条不同直线,,是两个不同平面,则下列命题正确的是()(A)若,垂直于同一平面,则与平行(B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行(C)若,不平行,则在内不存在与平行的直线(D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面6、若样本数据1x,2x,,10x的标准差为8,则数据121x,221x,,1021x的标准差为()(A)8(B)15(C)16(D)327、一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()(A)13(B)23(C)122(D)228、C是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足2a,C2ab,则下列结论正确的是()(A)1b(B)ab(C)1ab(D)4Cab9、函数2axbfxxc的图象如图所示,则下列结论成立的是()(A)0a,0b,0c(B)0a,0b,0c(C)0a,0b,0c(D)0a,0b,0c10、已知函数sinfxx(,,均为正的常数)的最小正周期为,当23x时,函数fx取得最小值,则下列结论正确的是()(A)220fff(B)022fff(C)202fff(D)202fff第二卷二.填空题11.371()xx的展开式中5x的系数是(用数字填写答案)12.在极坐标系中,圆8sin上的点到直线()3R距离的最大值是13.执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n为14.已知数列{}na是递增的等比数列,14329,8aaaa,则数列{}na的前n项和等于15.设30xaxb,其中,ab均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是(写出所有正确条件的编号)(1)3,3ab;(2)3,2ab;(3)3,2ab;(4)0,2ab;(5)1,2ab.三.解答题16.在ABC中,3,6,324AABAC,点D在BC边上,ADBD,求AD的长。17.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望)(18)(本小题12分)设*nN,nx是曲线231nyx在点(12),处的切线与x轴交点的横坐标,(1)求数列{}nx的通项公式;(2)记2221221nnTxxx,证明14nTn.19.如图所示,在多面体111ABDDCBA中,四边形11AABB,11,ADDAABCD均为正方形,E为11BD的中点,过1,,ADE的平面交1CD于F(1)证明:11//EFBC(2)求二面角11EADB余弦值.(20)(本小题13分)设椭圆E的方程为222210xyabab,点O为坐标原点,点A的坐标为0a,,点B的坐标为0b,,点M在线段AB上,满足2BMMA,直线OM的斜率为510.(I)求E的离心率e;(II)设点C的坐标为0b,,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72,求E的方程.21.设函数2()fxxaxb.(1)讨论函数(sin)22fx在(-,)内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;(2)记20000(),(sin)(sin)fxxaxbfxfx求函数在22(-,)上的最大值D;(3)在(2)中,取2000,D14aabzb求满足时的最大值。数学(理科)试题参考答案一、选择题(1)B(2)A(3)A(4)C(5)D(6)C(7)B(8)D(9)C(10)A二、填空题(11)35(12)6(13)4(14)21n(15)①③④⑤三、解答题(16)设ABC的内角,,ABC所对边的长分别是,,abc,由余弦定理得2222232cos(32)62326cos1836(36)904abcbcBAC,所以310a.又由正弦定理得sin310sin10310bBACBa.由题设知04B,所以21310cos1sin11010BB.在ABD中,由正弦定理得sin6sin310sin(2)2sincoscosABBBADBBBB.(17)(Ⅰ)依据题目所给的条件可以先设“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.得出1123253()10AAPAA.(Ⅱ)X的可能取值为200,300,400.依此求出各自的概率136,,101010,列出分布列,求出期望136200300400350101010EX.试题解析:(Ⅰ)记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.1123253()10AAPAA.(Ⅱ)X的可能取值为200,300,400.22251(200)10APXA.31123232353(300)10ACCAPXA.136(400)1(200)(300)1101010PXPXPX.故X的分布列为X200300400P110310610136200300400350101010EX.(18)(I)解:22211=nnyx()(2n+2)x曲线221nyx在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为2(22)(1)ynx令y=0,解得切线与x轴交点的和坐标1111nnxnn(II)证:由题设和(Ⅰ)中的计算结果知22222213211321()()()242nnnTxxxn.当1n时,114T.当2n时,因为22222122221(21)(21)1221()2(2)(2)(2)nnnnnnxnnnnn,所以211211()2234nnTnn.综上可得对任意的*nN,均有14nTn.(19)(Ⅰ)证明:由正方形的性质可知11////ABABDC,且11ABABDC,所以四边形11ABCD为平行四边形,从而11//BCAD,又1AD面1ADE,1BC面1ADE,于是1//BC面1ADE,又1BC面11BCD,而面1ADE面11BCDEF,所以1//EFBC.(Ⅱ)因为四边形11AABB,11ADDA,ABCD均为正方形,所以11,,AAABAAADADAB,且1AAABAD,以A为原点,分别以1,,ABADAA为x轴,y轴,z轴单位正向量建立,如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1)ABDABD.而E点为11BD的中点,所以E点的坐标为(0.5,0.5,1).设面1ADE的法向量1111(,,)nrst.而该面上向量11(0.5,0.5,0),(0,1,1)AEAD,由1111,nAEnAD得111,,rst应满足的方程组11110.50.500rsst,(1,1,1)为其一组解,所以可取1(1,1,1)n.设面11ABCD的法向量2222(,,)nrst,而该面上向量111(1,0,0),(0,1,1)ABAD,由此同理可得2(0,1,1)n.所以结合图形知二面角1EADB的余弦值为1212||263||||32nnnn.(20)(I)由题设条件知,点M的坐标为21(,)33ab,又510OMk,从而5210ba,进而得225,2abcabb,故255cea.(II)由题设条件和(I)的计算结果可得,直线AB的方程为15xybb,点N的坐标为51(,)22bb,设点N关于直线AB的对称点S的坐标为17(,)2x,则线段NS的中点T的坐标为1517(,)4244xbb.又点T在直线AB上,且1NSABkk,从而有115174244157122552xbbbbbbx解得3b,所以35b,故椭圆E的方程为221459xy.(21)Ⅰ)2(sin)sinsinsin(sin)fxxaxbxxab,22x.[(sin)]'(2sin)cosfxxax,22x.因为22x,所以cos0,22sin2xx.①当2,abR时,函数(sin)fx单调递增,无极值.②当2,abR时,函数(sin)fx单调递减,无极值.③当22a,在(,)22内存在唯一的0x,使得02sinxa.02xx时,函数(sin)fx单调递减;02xx时,函数(sin)fx单调递增.因此,22a,bR时,函数(sin)fx在0x处有极小值20(sin)()24aafxfb.(Ⅱ)22x时,00000|(sin)(sin)||()sin|||||fxfxaaxbbaabb,当00()()0aabb时,取2x,等号成立,当00()()0aabb时,取2x,等号成立,由此可知,函数0(sin)(sin)fxfx在[]22,上的最大值为00||||Daabb.(Ⅲ)D1,即||||1ab,此时201,11ab,从而214azb.取0,1ab,则||||1ab,并且214azb.由此可知,24azb满足条件D1的最大值为1.

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