07新 经济地理学 第二章

随机试验的结果随机变量数量化微积分等数学工具2.1在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；七月份郑州的最高温度；每天从郑州下火车的人数；昆虫的产卵数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.例1.观察一天中进入某商店的顾客人数。wk={一天中进入商店k个顾客}kk=(1,2,…)X例2.从一批含有次品的产品中任意抽查一个，观察产品情况。1{}产品为正品2{}产品为次品01X随机变量的定义对于随机试验E，Ω是其样本空间。如果对每一个样本点w,都对应着一个实数X(w)，则称Ω上的实值函数X(w)为随机变量，简记为X。ΩwRX(w)X而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示随机变量的分类通常分为两类：如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.分布函数设X是一个随机变量，称),(),()(xxXPxF为X的分布函数.F(x)也可记为FX(x).xXx.问：在上式中，X,x皆为变量.二者有什么区别？F(x)是不是概率？X是随机变量,x是参变量.F(x)是r.vX取值不大于x的概率.xxXPxF),()(已知X的分布函数为F(x)，下列各事件概率用F(x)如何表示？1-F(x)F(x2)-F(x1)P(Xx)P(X=x)P(Xx)P(x1X≤x2)P(x1Xx2)P(x1≤X≤x2)F(x)-F(x-0)F(x-0)F(x2-0)-F(x1)F(x2)-F(x1-0)分布函数的性质,()()abFaFb若则0()1,(),lim()()0,lim()()1xxFxxFxFFxF且F(x+0)=F(x)1.单调不减2.非负有界3.右连续bxbFxFxFxFxFxF求为分布函数。例),()(53)(,)(),(),(32121例4.设随机变量X的分布函数为,0,0,0,)(xxbeaxFx求常数a,b及概率P(|X|2).()lim()11xFFxa解：根据分布函数的性质有：(00)(0)0=0b=-1FFab2(2)(22)(20)(2)1PXPXFFe2.2Xx1x2…xk…Pkp1p2…pk…离散型随机变量的概率分布定义:设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值,pk是X取值xk的概率,称,...2,1,)(kpxXPkk为离散型随机变量X的概率分布或分布律。分布列pk(k=1,2,…)满足:.1)2(,...;2,1,0)1(1kkkpkp概率分布的性质这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为101)0(3533CCXP106)1(351223CCCXP103)2(352213CCCXP例1且311iiXP)(解:依据概率函数的性质:kkXP1)(P(X=k)≥0,1!0aekakka≥0从中解得欲使上述函数为概率函数应有ea0kkke!这里用到了常见的幂级数展开式例2.设随机变量X的概率函数为：,!)(kakXPkk=0,1,2,…,试确定常数a.0aiaiXPiaiXPXii数分别求上述各式中的常）（的概率分布为：设离散型随机变量例,2,1,)32(}{)2(;3,2,1,)32(}{13的分布律。作是相互独立的），求信号灯的工信号灯的组数（设各组它已通过的表示汽车首次停下时，以的概率禁止汽车通过。灯以，每组信号路上需经过四组信号灯地的道：设一汽车在开往目的例XpX4例5.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解：X可取0、1、2为值P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例6.某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的概率函数.解:显然，X可能取的值是1,2,…，P(X=1)=P(A1)=p,为计算P(X=k)，k=1,2,…，Ak={第k发命中}，k=1,2,…，设于是pp)1()()2(21AAPXP)()3(321AAAPXPpp2)1(,2,1kppkXPk1)1()(可见这就是求所需射击发数X的概率函数.P(X=1)=P(A1)=p,Ak={第k发命中}，k=1,2,…，设于是pp)1()()2(21AAPXP)()3(321AAAPXPpp2)1(若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布.不难验证:1)1(11kkpp,2,1kppkXPk1)1()(例7.210121328aaaaXPk(1)求常数a;(2)P(X1),P(-2X≤0),P(X≥2).xxkkpxXPxF)()(11121223110,,,(),,1ikiikxxpxxxppxxxFxpxxxi离散型随机变量的分布函数当x0时，{Xx}=，故F(x)=0例9212613110~X，求F(x).当0x1时，F(x)=P(Xx)=P(X=0)=31F(x)=P(Xx)解:当1x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=316121当x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例9212613110~X，求F(x).F(x)=P(Xx)解:故注意右连续下面我们从图形上来看一下.2,121,2110,310,0)(xxxxxF212121103100xxxxxF,,/,/,)(概率函数图31120x)(xXP612113121120x)(xXP612161OOO1)(xF分布函数图画分布函数图212613110~X不难看出，F(x)的图形是阶梯状的图形，在x=0，1，2处有跳跃，其跃度分别等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).3121120x612161OOO1)(xF1.它的图形是一条右连续的阶梯型曲线2.在随机变量的每一个可能取值点x=xk(k=1,2,…),该图形都有一个跳跃，跳跃高度为pk离散型随机变量的分布函数特点的概率分布。求的分布函数为：设随机变量例XxxxxxFX,313219152119910)(10例11.袋中装有5件产品,其中有2件次品,其余为正品,现任取2件,那么取到的次品数X的分布列及分布函数.)2523()2321(),31(XPXPXP及并求几种常见的离散型随机变量的分布0-1分布若随机变量X只可能取0和1两个值，其概率分布为P(X=1)=p，P(X=0)=1-p(0p1)则称X服从参数为p的0-1分布.几种常见的离散型随机变量的分布二项分布若随机变量X的概率分布为,110;,...,2,1,0,)()(pqnkqpCkXPkPknkknn称X服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p).例12。某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.解:设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.X~B(3,0.8)，把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验,“成功”的概率为0.8P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104,)2.0()8.0()(33kkkCkXP3,2,1,0k例13.一随机数字序列要有多长才能使0至少出现一次的概率不小于0.9?解：X:长度为n的随机数字序列中0的个数X~B(n,0.1)9.09.019.01.01)0(1)1(000nnnCXPXP.22n例14.某车间有5台车床,由于种种原因(由于装、卸工作等),时常需要停车.设各台车床的停车或开车是相互独立的.若车床在任一时刻处于停车状态的概率是1/3,求车间中恰有一台车床处于停车状态的概率。解：X:处于停车状态的车床数X~B(5,1/3)3292.03231)1(4115CXP对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值；([x]表示不超过x的最大整数)...n=10,p=0.7nPk0对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.n=13,p=0.5Pkn....00(1)(1)1,(1)[(1)],(1)npnpnpknpnp或是整数不是整数设射手每一次击中目标的概率为p，现连续射击n次，击中次数最大可能是多少？几种常见的离散型随机变量的分布泊松分布若随机变量X的概率分布为,...,2,1,0,!)(kkekXPk其中常数λ0,则称X服从参数为λ的泊松分布，记作X~P(λ).设随机变量Xn~B(n,pn)，其中pn是与n有关的数，又设λ=npn是常数，则有lim()lim(1),0,1,2,!kknknnnnnnkPXkCppekk泊松定理定理的条件λ=npn意味着当n很大时，pn必定很小.因此，泊松定理表明，当n很大，p很小时有以下近似式：!)1(keppCkknkkn例15为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理.问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?我们先对题目进行分析：300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01.可看作n=300的贝努里概型.X~B(n,p)，n=300,p=0.01可见，300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300,p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(XN)0.01或P(XN)0.99的最小的N.解：设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300,p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(XN)