34函数的最值和导数在经济中的应用

(1)定义3.4.1函数的最值最值的定义如果函数f（x）在其定义域[a，b]上的函数值满足其中则称为函数的最小值，为函数的最大值。mxf)(1],[,,)(,)(2121baxxMxfmxfMxfm)(Mxf)(23.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3.4.1函数的最值],[ba我们知道，连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，且最大值和最小值只可能在区间内的极值点和端点处得到．因此可直接求出一切可能的极值点（驻点及个别不可导点）和端点处的函数值，比较这些数值的大小，即可得出函数的最大值和最小值。)(xf),(ba3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)引子3.4.1函数的最值如果函数在上单调增加，则函数的最大值和最小值分别是什么？)(xf],[ba)(xf?3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)引子3.4.1函数的最值)(af如图１所示，如果在上单调增加，则函数的最小值是，最大值是。)(xf],[ba)(xf)(bfxyoab3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)引子3.4.1函数的最值如果函数在上单调减少，则函数的最大值和最小值分别是什么？)(xf],[ba)(xf?3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)引子3.4.1函数的最值)(af如右图所示，如果在上单调减少，则函数的最小值是，最大值是。)(xf],[ba)(xf)(bfxyoab3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)引子3.4.1函数的最值在什么情况下函数的极大值一定是最大值，在什么情况下函数的极小值一定是最小值)(xf)(xf?3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)引子3.4.1函数的最值3.4函数的最值与导数在经济中的应用如果连续函数在上仅有一个极大值而没有极小值，则此极大值就是在上的最大值，如右图所示。)(xf],[ba)(xf],[baxyoabx0f(x0)(2)引子3.4.1函数的最值3.4函数的最值与导数在经济中的应用如果连续函数在上仅有一个极小值而没有极大值，则此极小值就是在上的最小值，如右图所示。)(xf],[ba)(xf],[baxyoabx0f(x0)(3)举例3.4.1函数的最值3.4函数的最值与导数在经济中的应用例１求函数在上的最值。430182)(23xxxxf]3,0[解：)5)(1(630366)(2xxxxxf因为,0)x(f,1x152x令得驻点（不合题意舍去）,18)3(f,18)1(f,4)0(f由于比较各值，,18)1(f18)3(f得函数的最大值为最小值为(3)举例3.4.1函数的最值3.4函数的最值与导数在经济中的应用例２求函数在上的最大值和最小值。322)(xxxf]4,1[解：3222)2(3)1(2)22(231)(32xxxxxxxf因为0)(xf)(xf2x0x显然与是的不可导点，令，1x得驻点为，1)1(f2)4(f比较各值，得函数最大值为，最小值为。(4)训练题一3.4.1函数的最值3.4函数的最值与导数在经济中的应用1.求函数在上的最大值和最小值。593)(23xxxxf]4,2[答案：最大值f（-1）=10，最小值f（3）=-22(1)举例3.4.2最值在经济问题中的应用举例3.4函数的最值与导数在经济中的应用设某产品的总成本函数为（元）（ｑ为产品的产量），求当产量为多少时，该产品的平均成本最小，并求最小平均成本？1600q15q25.0)q(C2解：),0(16001525.0)()(qqqqqCqC该产品的平均产品函数为0)(qC0160025.0)(2qqC令，即80q求得唯一驻点，55801600158025.0)80(C80q)(qC所以在处取得最小值，最小值为例３又因为,0)80(C3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)训练题二3.4.2最值在经济问题中的应用举例1.设某产品的价格与需求的关系为，总成本函数（元），求当产量和价格分别是多少时，该产品的利润最大，并求最大利润．qp3.02501800100)(qqC答案：当产品为250个单位，价格为175元/单位时，利润最大，最大利润为16950元．(1)定义3.4.3导数在经济分析中的应用3.4函数的最值与导数在经济中的应用1.边际与边际分析定义3.2边际函数反映了函数在点处的变化率。)(xf)(xfx设函数在点处可导，则导函数称为函数的边际函数。也称为函数在处的边际函数值。x)(xf)(xf)(0xf0x)(xf)(xf3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3.4.3导数在经济分析中的应用1.边际与边际分析因为，当，时有因此，函数在点处的边际函数值的具体意义是，当在点处改变一个单位时，函数近似地改变个单位。xxfdyy)(00xx1x)(0xfy)(xfy)(xf)(0xf0xx0x)(xf3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)举例3.4.3导数在经济分析中的应用1.边际与边际分析例４求函数在点处的边际函数值。2x123xxy解:即边际函数值为14。yx2xy它表示函数在处，当改变一个单位时，函数近似地改变14个单位。,2x3y2因为,14y2x所以3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3.4.3导数在经济分析中的应用2.边际函数在经济学中的应用边际需求的定义设需求函数在点处可导（其中为需求量，为价格），则其边际函数称为边际需求函数。简称边际需求。p)(pfQQp)(pfQ3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3.4.3导数在经济分析中的应用边际供给的定义若供给函数在点处可导（其中为供给量，为价格），则其边际函数称为边际供给函数。简称边际供给。p)(pgQQp)(pgQ2.边际函数在经济学中的应用3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3.4.3导数在经济分析中的应用边际成本的定义设成本函数可导（其中表示总成本，表示产量），则其边际函数称为边际成本函数，简称边际成本。称为当产量为时的边际成本。q)(qCCC)(qCC)(0qC0q0q)(0qC其经济意义为：当产量达到时，如果增减一个单位产品，则成本相应增减个单位。2.边际函数在经济学中的应用3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3.4.3导数在经济分析中的应用边际收益的定义设收益函数可导（其中表示收益，表示商品销售量），则其边际函数称为边际收益函数，简称边际收益。称为当商品销售量为时的边际收益。q)(qRRR)(qRR)(0qR0q)(0qR0q经济意义：销售量达到时，如果销售量增减一个单位产品，则收益相应增减个单位。2.边际函数在经济学中的应用3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3.4.3导数在经济分析中的应用边际利润的定义设利润函数可导，则其边际函数称为边际利润。称为当产量为时的边际利润。)(qLL)(qLL)(0qL0q)(0qL0q经济意义：当产量达到时，如果增减一个单位产品，则利润相应增减个单位。2.边际函数在经济学中的应用3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)举例3.4.3导数在经济分析中的应用2.边际函数在经济学中的应用例５设总成本函数（元），求：⑴边际成本函数；⑵生产50个单位时的平均单位成本，和边际成本值，并解释后者的经济意义。1000q40q3.0q001.0)q(C23,5.4750)50(C⑵q=50时的平均单位成本为406.0003.0)(2qqqC⑴边际成本函数为解：5.17)406.0003.0()50(502qqqCq=50时的边际成本为经济意义：当生产达到50个单位产品时，如果再多生产1个产品所最加的成本为17.5元。3.4函数的最值与导数在经济中的应用(3)训练题三3.4.3导数在经济分析中的应用2.边际函数在经济学中的应用某工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本C（元）是日产量x（吨）的函数：求当日产量为100吨时的边际成本，并解释经济意义。x50x71000)x(C1000,0x答案：边际成本：经济意义是：当产量是100吨时，每增加1吨产量，成本增加9.5元。5.9)100(C3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3.4.3导数在经济分析中的应用3.弹性函数定义3.3设函数在点处可导，称极限为函数的弹性函数，记为，即x)(xf)(xfxxyyx0lim)(xE)()(lim)(0xfxxfyxxyxEx3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3.4.3导数在经济分析中的应用3.弹性函数在点处，弹性函数值称为函数在点处的弹性值，简称弹性。它表示在点处，当变动1%时，的值近似地变动。)(xf)(xf)%x(E00xx)()()(0000xfxxfxE0x0xxx3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)举例3.4.3导数在经济分析中的应用3.弹性函数例６x2exy设函数，求其弹性函数以及在处的弹性。3x)2(22xxeexxeyxxx解：因为xexxexxfxyxExx2)2()()(22所以弹性函数1)2()3(3xxE于是，3.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3.4.3导数在经济分析中的应用4.需求弹性和供给弹性定义3.4)(pgQ0pp设需求函数在处可导，则)()()(lim000000pQppQppQQp0pp称为该商品在处的需求弹性，记作或，即0pp)(0p)p(Qp)p(Q)p(00003.4函数的最值与导数在经济中的应用(1)定义3.4.3导数在经济分析中的应用4.需求弹性和供给弹性定义3.50pp)p(SS设供给函数在处可导，则)()()(lim000000pSppSppSSp0ppε称为该商品在处的供给弹性，记作或，即0pp)(0pε)()(0000pSppSεpp3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)举例3.4.3导数在经济分析中的应用4.需求弹性和供给弹性例７设某商品的需求函数为，求⑴需求弹性函数；⑵时的需求弹性，并说明其经济意义；⑶时，价格上涨1%，其总收益增加还是减少？变化的幅度是多少？⑷当取多少时，总收益最大？275)(ppQ4p4pp3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)举例3.4.3导数在经济分析中的应用4.需求弹性和供给弹性222752752)()(ppppppQpQpη⑴需求弹性函数：275)(ppQ解：因为需求函数为)75()(2pppR，总收益函数为54.0593247542)4(η22⑵当p=4时的需求弹性这说明，在p=4时，价格每上涨1%，则需求减少0.54%；而价格若下降1%,则需求增加0.54%。3.4函数的最值与导数在经济中的应用(2)举例3.4.3导数在经济分析中的应用4.需求弹性和供给弹性解：46.054.011)(ηpE⑶当p=4时的收益弹性：所以，当P=4时，价格上涨1%，总收益增加0.46%。1p75p2221)(pη⑷要使总收益R（p）最大，应有需求弹性，即得p=5，p=-5（舍去），故当p=5时，总收益取得最大值。3.4函数的最值与导数在经济中的应用(3)训练题四3.4.3导数在经济分析中的应用4.需求弹性和供给弹性1.设某商品的供给函数为s=2+3p，求供给弹性函数以及p=3时的供给弹性．2.某产品的销售量x与价格p之间的关系式为，求需求弹性。如果价格为0.5，试确定此时需求弹性的值。ppx1答案：1.8.0,p32p32,1p12.