3第三章经典单方程计量经济学模型多元回归

第三章经典单方程计量经济学模型：多元回归•多元线性回归模型•多元线性回归模型的参数估计•多元线性回归模型的统计检验•多元线性回归模型的预测•回归模型的其他形式•回归模型的参数约束§3.1多元线性回归模型一、多元线性回归模型二、多元线性回归模型的基本假定元回归模型的优点多元回归分析允许我们明确地控制许多其他也同时影响因变量的因素，更适合于其他条件不变情况下的分析。•1、可用于建立更好的因变量预测模型。•2、可以用以添加相当一般化的函数关系。如：家庭消费对家庭收入的二次函数。一、多元线性回归模型多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。一般表现形式：ikikiiiXXXY22110i=1,2…,n其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数（regressioncoefficient）。习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样：模型中解释变量的数目为（k+1）ikikiiiXXXY22110也被称为总体回归函数的随机表达形式。它的非随机表达式为:kikiikiiiiXXXXXXYE2211021),,|(方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化;或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为μXβY其中)1(212221212111111knknnnkkXXXXXXXXXX1)1(210kkβ121nnμ样本回归函数：用来估计总体回归函数kikiiiiXXXYˆˆˆˆˆ22110其随机表示式:ikikiiiieXXXYˆˆˆˆ22110ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项i的近似替代。样本回归函数的矩阵表达:βXYˆˆ或eβXYˆ其中：kˆˆˆˆ10βneee21e二、多元线性回归模型的基本假定假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性0)(iE22)()(iiEVar0)(),(jijiECovnjiji,,2,1,假设3，解释变量与随机项不相关0),(ijiXCov假设4，随机项满足正态分布),0(~2Nikj,2,1上述假设的矩阵符号表示式：假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。假设2，0)()()(11nnEEEEμnnEE11)(μμ21121nnnEI22211100)var(),cov(),cov()var(nnn假设3，E(X’)=0，即0)()()(11iKiiiiiKiiiiEXEXEXXE假设4，向量有一多维正态分布，即),(~2I0μN同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：假设5，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即n∞时，jjjijiQXXnxn22)(11或Qxxn1其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量的离差为元素组成的nk阶矩阵knnkxxxx1111x假设6，回归模型的设定是正确的。§3.2多元线性回归模型的估计估计方法：OLS、ML或者MM一、普通最小二乘估计*二、最大或然估计*三、矩估计四、参数估计量的性质五、样本容量问题六、估计实例一、普通最小二乘估计对于随机抽取的n组观测值kjniXYjii,2,1,0,,,2,1),,(如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：KikiiiiXXXYˆˆˆˆˆ22110i=1,2…n根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解0ˆ0ˆ0ˆ0ˆ210QQQQk其中2112)ˆ(niiiniiYYeQ2122110))ˆˆˆˆ((nikikiiiXXXY于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ(221102222110112211022110（解该k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值,,,,,jjk012。正规方程组的矩阵形式nknkknkkiikikikiiiikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXn212111211102112111111ˆˆˆ即YXβX)X(ˆ由于X’X满秩，故有YXXXβ1)(ˆ将上述过程用矩阵表示如下：即求解方程组：0)ˆ()ˆ(ˆβXYβXYβ0)ˆˆˆˆ(ˆβXXββXYYXβYYβ0)ˆˆˆ2(ˆβXXββXYYYβ0ˆβXXYX得到：YXXXβ1)(ˆβXXYXˆ于是：例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，53650000215002150010111111)(22121iiinnXXXnXXXXXXXX'39468400156741112121iiinnYXYYYYXXXYX可求得0735.10003.00003.07226.0)(1EXX于是7770.0172.10339648400156740735.10003.00003.07226.0ˆˆˆ21Eβ⃟正规方程组的另一种写法对于正规方程组βXXYXˆβXXeXβXXˆˆ于是0eX或0ie0iijieX(*)或（**）是多元线性回归模型正规方程组的另一种写法(*)(**)⃟样本回归函数的离差形式ikikiiiexxxyˆˆˆ2211i=1,2…n其矩阵形式为eβxyˆ其中：nyyy21yknnnkkxxxxxxxxx212221212111xkˆˆˆˆ21β在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为Yxxxβ1)(ˆkkXXYˆˆˆ110⃟随机误差项的方差的无偏估计可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为11ˆ22knkneiee*二、最大或然估计对于多元线性回归模型ikikiiiXXXY22110易知),(~2βXiNYiY的随机抽取的n组样本观测值的联合概率)ˆ()ˆ(21))ˆˆˆˆ((212122222211022)2(1)2(1),,,(),ˆ(βXYβXYβeeYYYPLnXXXYnnnkikiiin即为变量Y的或然函数对数或然函数为)ˆ()ˆ(21)2()(2*βXYβXYnLnLLnL对对数或然函数求极大值，也就是对)ˆ()ˆ(βXYβXY求极小值。因此，参数的最大或然估计为YXXXβ1)(ˆ结果与参数的普通最小二乘估计相同*三、矩估计（MomentMethod,MM）OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正规方程组YXβX)X(ˆ并对它进行求解而完成的。该正规方程组可以从另外一种思路来导:μXβYμXXβXYXμXXβ(YX)求期望:0XβYX)((E0XβYX)((E称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原总体回归方程所具有的内在特征。0)ˆ1βX(YXn由此得到正规方程组YX'βXX'ˆ解此正规方程组即得参数的MM估计量。易知MM估计量与OLS、ML估计量等价。矩方法是工具变量方法(InstrumentalVariables,IV)和广义矩估计方法(GeneralizedMomentMethod,GMM)的基础•在矩方法中关键是利用了E(X’)=0•如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是IV。•如果存在＞k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含＞k+1方程的矩条件。这就是GMM。四、参数估计量的性质在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有：线性性、无偏性、有效性。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性。1、线性性CYYXXXβ1)(ˆ其中,C=(X’X)-1X’为一仅与固定的X有关的行向量2、无偏性βμXXXβμXβXXXYXXXβ11)()())()(())(()ˆ(1EEEE这里利用了假设:E(X’)=03、有效性（最小方差性）其中利用了YXXXβ1)(ˆμXXXβμXβXXX11)()()(和Iμμ2)(E五、样本容量问题所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。⒈最小样本容量样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即nk+1因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+12、满足基本要求的样本容量从统计检验的角度：n30时，Z检验才能应用；n-k8时,t分布较为稳定一般经验认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明数量的要求•1、在研究经费和时间的充许下，收集尽可能多的样本。•2、对于横截面数据，至少要30个样本；对于时间数列数据，最少要有12年的数据。•3、样本数量要多于模型中的变量数。六、多元线性回归模型的参数估计实例例3.2.2在例2.5.1中，已建立了中国居民人均消费一元线性模型。这里我们再考虑建立多元线性模型。解释变量：人均GDP：GDPP前期消费：CONSP(-1)估计区间：1979~2000年Eviews软件估计结果LS//DependentVariableisCONSSample(adjusted):19792000Includedobservations:22afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C120.700036.