如何获取更多的利润

123网校华师大七年级数学下册知识拓展如何获取更多的利润例1某商场以每件45元的价钱购进一种服装，根据试销得知，这种服装每天的销量T（件）与每件的销售价x（元／件）可以看报是一次函数：T＝－3x＋207（45≤x≤69）（1）写出该商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指卖出服装的销售价与购过价的差）。（2）通过对所得出函数关系式配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润是多少？分析：每天总销售价为Tx，即（－3x＋207）x，每天销售的T件服装的进价为45T，即45（－3x＋207），而总销售价与总进价的差值即为所获得的利润，而对于第（2）小题应将已得的二次函数配方，画出其函数图像，结合其自变量的取值范围确定最佳售价。解：（1）由题意得：Y＝（－3x＋207）x－45（－3x＋207）＝（－3x＋207）（x－45）（45≤x≤69）（2）由（1）知y＝（－3x＋207）（x－45）＝－3（x2－114x＋3105）＝－3（－57）2＋432（45≤x≤69）由图像知开口向下，存在最大值，且45＜57＜69。∴当x＝57时123网校华师大七年级数学下册知识拓展Ymax＝432亲爱的同学，若请你帮该商场决策，你知道每件售价是多少最为合适吗？评述：本题显然是一道在实际生活中可以碰得到的实际问题，而且也确实可以使用我们学过的知识提供一定程度的参考，不过本题可以作一些延伸：1．本题为什么每件商品的售价被限定在45元与69元之间呢？2．该服装的售价可以超过69元吗？3．该函数的图像还可以向两端延伸吗？例2共产品每件的成本价是120元，试销阶段中每件产品的销售价x（元）与产品的月销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）130150165y（件）705035若月销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售应为多少元？此时每日的销售利润是多少？（销售利润＝销售价－成本价）分析：从传统的函数应用题拓展到有关营销决策、统计评估、生产、生活等时代气息浓厚的应用问题，形式多样，涉及的知识点比较广，且须注意知识的有机的融合，是近几年中考函数类应用性试题出现的变化和特点。该题涉及一次函数、二次函数。建立二次函数需要领会题意，并在此基础上求函数的最值。以销售为数学模型的函数应用题，既考查了学生的知识，又考查了学生的能力。①“销售利润＝销售价－成本价”这是题目给出的式子，因此每件产品的销售利润与销售价、成本价有关。每日的销售利润应是每日销售量y（件）与每件产品销售利润的积。这是解决此题的关键，也是营销问题中的常识。②以表格形式给出了x（元）与y（件）的对应关系，并进而指出销售量y是销售价x的一次函数，为用待定系数法求解析式提供了可行性与新颖性。③在分析与综合的基础上，每日的销售利润应是y（x的一次函数）与每件产品销售利润（x的一次函数）的积，实质为x的二次函数，于是求函数的最值，就是求日最大利润的问题了。123网校华师大七年级数学下册知识拓展④在实际问题中自变量的取值范围必须符合题意。例如，销售价x元一般不能低于成本价，否则要亏本，更无从谈利润；销售量只能是非负数等。解：设y＝kx＋b，当x＝130时，y＝70；当x＝150时，y＝50，得方程组：5015070130bkbb解得：1,200kb∴y＝－x＋200设每日销售利润为Z元，每件产品的销售利润是（x－120）元，于是200120012001201600)160(24000320)120)(200()120(22xxxxxxxxxyZ∴当160x时，1600maxZ即当每件产品的销售价定为160元时，每日的销售利润最大，最大利润为1600元。例3某剧院设有1000个座位，门票每张3元可达客满，据长期的营业进行市场估计，若每张票价提高x元，将有200x张门票不能售出。（1）求提价后每场电影的票房收入y（元）与票价提高量x（元）之间的函数关系式和自变量x的取值范围。（2）若你是经理，你认为电影院应该怎样决策（提价还是不提价），若提价，提价多少为宜？分析：若提价x元后，则每张票价变为（x＋3）元，出售的门票总数为：（1000－200x）张，则票房的收入变为：（x＋3）·（1000－200x）。至于电影院到底应该怎样决策，显然票房的收入y是提高的价x的二次函数，可以对其进行配方，进而求出最高的提价。解：（1）由题意知：3000400200)3)(2001000(2xxxxy123网校华师大七年级数学下册知识拓展又05020002001000xxxx∴x的取值范围是：50x（2）3000)1122(200xxy3200)1(2003000200)1(20022xx又510∴当1x时，3200maxY。∴电影院应每张门票提价1元为宜。接下来我们再来看一看1998年河北省的一道中考题。亲爱的同学，你能试着顺利地完成它吗？例4某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来。（2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），其中一种的生产件数为x，试写出y与x元间的函数关系式，并利用函数的性质说出（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？分析：本题是生产经营决策问题。在市场经济竞争十分激烈的今天，帮助学生学会比较，学会挥优决策，是素质教育的要求，也是近年中考的热门题型。本题所涉及的知识点有：不等式（组）、一次函数。解决这类问题的关键是，建立相应的数学模型。（1）A、B两种产品的生产件数，受总件数50和所需两种原料库存量的制约。所以可由此得出不等组，从而确立A、B两种产品生产件数的范围，通过进一步讨论可选择其生产方案。123网校华师大七年级数学下册知识拓展（2）列出总利润与产品生产数量之间的函数关系，根据函数的增减性质，就可以解决本题。解：（1）设安排生产A种产品。件，则生产B件产品（50－x）件。依题意，得290)50(103360)50(49xxxx解之，得3230x∵x为整数，∴x只能取30，31，32。相应的（50－x）的组为2019，18。。所以生产的方案有三种：第一种：生产A种产品30件，B种产品20件；。第二种：生产A种产品31件，B种产品19件；’。第三种：生产A种产品32件，B种产品18件。。（2）设生产A种产品件数为x，则生产B种产品的件数为50－x。依题意，得)50(1200700xxy60000500x其中x只能取30、31、32，0500x∴此一次函数中y随x的增大而减小。∴当x＝30时，y的值最大。故按第一种方案安排生产，获总利润最大，最大利润为：－500×30＋60000＝45000元。例5某工厂计划出售一种产品，固定成本为2000000元，球台生产成本为3000元，销售收入为5000元。求总产量x对总成本Q、单位成本P、销售收入R以及利润L的函数关系，并作出简要分析。123网校华师大七年级数学下册知识拓展解：总成本与总产量的关系Q＝2000000＋3000x，单位成本与总产量的关系30002000000xP销售收入与总产量的关系：R＝5000x。利润与总产量的关系20000002000xQRL。分析：①从利润关系式可见，欲求较大的利润，应增加产量（在不考虑销售的情况下），若x＜1000，则要亏损；若x＝1000，则利润为零；若x＞1000，则可盈利。这一点也可以从上面的图像中看出，两条直线的交点就是平衡点。②从单位成本与总产量呈反比例的关系可见，为了降低成本，应增加产量，这样才能降低成本，形成规模效益。例6今拟建一排4门的猪舍（如图），由于材料的限制，围墙和墙的总长度只能造p米，问x为多少时，猪舍面积最大？401025,5025225,22ppxSpxxxpxpxS∴当10px米时，猪舍面积最大。答：10px米时，猪舍面积最大。说明：本题列式的关键，在于找出长方形的长25xp和宽x。对于求极值，是否采用配方法，则可以根据自己的习惯，本题所用的配方法是解决此类问题的通法。现代生活中，信息显得十分重要，而报纸作为大众传媒的一种，是一种传递信息的重要载体。正因如此，我们很多人都有抽空着报纸的习惯。下面我们就来研究一下报摊卖报的问题，请你帮助业主设计一下最佳办法。123网校华师大七年级数学下册知识拓展例7某市一家报摊从报社买进《晚报》的价格是每份0.12元，卖出的价格是每份0.20元，卖不掉的以每份0.04元退回报社，在一个月（30天）里，有20天每天可销售400份，其余的10天仅售250份。但每天从报社买的份数必须相同，他应每天从报社购多少份，才能使每月所获利润最大？最大利润是多少？分析：本题应通过“售报收入”减去“退报亏损”构造等式，从而解决问题。解：设每天从报社购进x份（400250x），每月售出（20x＋10×250）份，退回10（x－250）份，由于卖出获利，退回亏损均为0.08元，则y＝0.08（20＋2500）－0.08（x－250）×10＝0.8＋400这显然是一个k＞0的一次函数，函数值y随着自变量x的增大而增大的，所以当x＝400时，ymax＝720（元）。答：应每天从报社购400份，才能使每月获利润最大，最大利润是720元。说明：此题是一道十分典型的应用题。它适用于卖报、卖书、卖书刊。随着数字的变化，可编撰成一道道试题。但是解法却是不变的，应注意此题的解法。例8某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上画出一块长方形地面（不改变方向），建造一幢8层楼公寓。问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积（精确到1m2）。分析：在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线，即可保持原来方位，画得一块长方形土地。显然，土地面积决定于P在AB上的位置。解：建立如图所示的坐标系，则AB的方程为过A（0，20）、B（30，0）则的一条直线。设直线AB的方程为y＝ka＋b则又因为A、B两点在直线上，123网校华师大七年级数学下册知识拓展322003020kbbkb2032xy。由于P点在直线上，故可得P点的坐标为20)3220,(xx（∴P点坐标满足函数的解析式），则长方形的面积为：)30(322080)100(xxxS化简得：)30(6000320322xxxS对函数的解析式进行配方得318050)5(326000350)5(326000)5510(3222222xxxxS当3503220,5xyx时，)m(318050max2S。说明：由此题可见，公寓占地面积与楼房层数无关，并非所有信息都是有用的，这也是应用题与通常题目的一个重要区别。例9某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的总建筑费用与建筑高度有关，楼房升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用平均提高5％，已知建筑5层楼时，每平方米的建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的平均综合费用最省（建筑费用与购地费用之和），公司应把楼建成几层？解：设该楼建成x层，则根据题意得每平方米的购地费用为：xx10001001000000（元）每平方米的建筑费用为：400＋400（x－5）·5％（元），所以每平方米的平均综合费用为：123网校华师大七年级数学下册知识拓展300220022003050202101550201550