第五章 成本与利润函数

第五章成本与利润函数•要素需求函数•短期成本函数与长期成本函数•学习曲线与成本次可加性•利润函数与供给函数•一、要素需求函数•要素需求函数的推导：要素需求函数的推导一般有两种方法，即利润最大化规划推导和成本最小化规划推导。利润最大化规划推导。从利润公式出发，利润（π）是总收入与总成本之差。即π＝pq-c这里p＝f(x1,x2)（x1和x2两种生产要素），c=r1x1+r2x2+b(r1和r2为两种要素对应的价格。）b为固定成本，从而求要素需求函数就相应的为解下面的利润最大化问题。)),(max(221121bxrxrxxpf让π对x1和x2分别求偏导，并令其一阶偏导为０则有。).,,(),,,(,,0,0212221112122112211222111prrxxprrxxxxrpfrpfrpfrpfrpfxrpfx需求函数和可以导出企业对要素从即下面一柯布——道格拉斯生产函数为例1111211211121111212122112112121211122112121)()()()()()(1,,21,.0,0,1,0,0,pArrxpArrxxxrrxrrxxrxAxppfrxAxppfrpfrpfxxxAxq同理）得代入（把可以推出）（）（所以由于解但这里例：成本最小化推导法即求下面成本最小化规划0,0),(}min{21212211xxqxxftsrxrx求解过程与利润最大化一样，这里省略。•要素价格变化对要素需求量的影响。先引入生产函数凹性概念。［定义］我们说f(x1,x2)为凹函数，如果f110,f220并且0212221122211211fffffff——当满足凹性时，生产函数最大化问题有解dpffffdrfdrfpDdxdpffffdrfdrfpDdxfffDdxdxdrdpfdrdpfdxdxpfpfpfpfdrdpfdxpfdxpfdrdpfdxpfdxpfdrdpfdxpfdxpfdrdpfdxpfdxpfprrxxxxffrpfrpf)(1)(1)0(,00,,,,00211121211121212221221212212122211212211212221121122222121112121112222212111212111212121212211令用克莱姆法则解上面的式子可以写成。的全微分，有与，求关于函数，所以我们对上式分别为因——我们来看r1对x1的影响，需求减少。的价格上升，他本身的要素的需求反方向变化。的价格与要素所以要素因为即有我们令1110,001)(1,022221112212fDfpDdrdxdrfpDdxdpdr——现在来看r2对x1的影响的需求反方向变动。价格与要素即要素则如果则有设120)(10),(1,012211212211fpDdrdxffpDdrdxdpdr同理要素１的价格对要素２的需求的影响，和要素２的价格对它自身的影响可以相应的得出。二、短期成本函数与长期成本函数•短期成本函数的定义导所得。解成本最小化规划而推由此可知，成本函数为以成本函数为条件要素需求函数。所，则称该解为是成本最小化问题的解如果则成本函数是分别为要素价格，设生产函数为),,(),,(),,(),2,1)(,,(),()min(),,(.0,0,),,(21*2221*112121*21221121212121qrrxrqrrxrqrrCniqrrxqxxftsxrxrqrrCxxrrxxfqi•短期成本函数以下式表示成本函数C=φ(q,r1,r2)+b但是在短期，要素价格是给定的所以，成本函数只是产量q的函数，于是C=φ(q)+bC有时写成TC，即总成本．平均成本与边际成本的关系．ATC=C/q=[φ(q)+b]/q总成本包括不变成本（FC）和可变成本（VC），平均可变成本记为．AVC=φ(q)/q平均固定不变成本记为AFC=b/q边际成本MC是产出量增量所导致的成本增量，MC=φ’(q)=dc/dqMCATCAVCAFCOq平均成本、平均可变成本、平均固定成本与边际成本之间的关系在平均成本的最低点，边际成本等于平均成本。当MC=AVC时，是AVC的最低点，如果MCAVC,则会使AVC下降；如果MCAVC则会使AVC上升。ACMCOqACMCOqACMCOqACMCACMCAC=MC如果MC一直高于AC,则AC一直上升，一定会有规模报酬递减。如果MC一直等于AC,则AC不变，一定会有规模报酬不变。如果MC一直低于AC,则AC下降，一定会有规模报酬递增。成本函数的二阶性质。利润极大化的一阶条件：0)('qpdqd二阶条件：022dqCd即边际成本是递减的。三、学习曲线和成本次可加性•学习曲线：有些企业的长期唱本(LAC)曲线可能会逐渐下降。这种LAC的逐渐下降可能来自于企业随产出量的积累而不断进行的“学习”，即“边干边学”。考虑两个时期，t=1,2。每个时期有产出量q，于是两时期产量分别为q1,q2。第一期的成本为C1(q1),第二期的成本为C2(q2,q1)。“学习效应”是指dC2/dC10。即第一期的产出越多，则第二期的生产成本会将下来。通常，学习效应便以累积的产量对降低平均成本的作用来表示。学习曲线：L=A+BN-β式中L表示单位产出的劳动投入量，N表示累积的产出量，A,B0。如β＝０，则L=A+B，这时单位产出的劳动投入量为一常数，N增加不会引起L的减少，所以不存在学习效应。β＝１，则L=A+B／N，那么，随着N趋于无穷，L接近A。这时学习效应是充分的。在通常情况下，０β1，β的大小表示“学习效应”的大小。通常，学习效应便以累积的产量对降低平均成本的作用来表示。学习曲线：L=A+BN-β式中L表示单位产出的劳动投入量，N表示累积的产出量，A,B0。如β＝０，则L=A+B，这时单位产出的劳动投入量为一常数，N增加不会引起L的减少，所以不存在学习效应。β＝１，则L=A+B／N，那么，随着N趋于无穷，L接近A。这时学习效应是充分的。在通常情况下，０β1，β的大小表示“学习效应”的大小。两个基本定理［定理１］边际成本在任何地方都递减意味着平均成本在任何地方都递减。［定理２］平均成本在任何地方都递减意味着生产是次可加的。四、利润函数和供给函数•利润函数的定义：企业的利润函数只取决于投入品价格与产出品价格，利润函数可以定义为下列最大值函数。利润函数一定指最大利润是存在的，并且这个最大利润只依赖于（p,r）。yxftsrxpyrpxy)(max),(0,•利润函数的性质),3,2,1(),(),),(),),0),5),)4();1(),(321),(0,0,0)0(:][nirpxxrprpyprprprprpkrprprprpfRRRfiinn（（引理：可导的，并且有霍太林时，对（》）当（（是凸；对于（是一次幂齐次的）对于（递减；）对于（递增；）对于（是连续的，并且有：，利润函数投入品价格集那么，对于产品价格，严格递增，且严格拟凹上是连续，在定义域如果生产函数定理•供给函数的求法．有三种求供给函数的办法．分别从利润函数、生产函数和成本函数求出供给函数。从利润函数求：有霍太林引理，若知道一家企业的生产函数，求出该企业的利润函数，再对利润函数求偏导既得供给函数。也就是霍太林引理。),(),rpyprp（Y(p,r)既为供给函数从生产函数直接求供给函数如果一个生产函数F(x1,x2)是一个严格凹函数，则利润极大化问题有解。我们先求出要素的条件需求函数，然后将该条件需求函数代入生产函数，就得到企业的供给函数。),,(),(),,(),,,(,),(),(2121*2*121*2*221*1*1221122112121prryyxxfyxxprrxxprrxxrpfrpfbxrxrxxpfxxfy，就得出供给函数代入和把求出由求利润最大化问题从成本函数求供给函数企业的利润函数表达式π（q）=pq-C（q）若利润极大化问题有解，则满足利润极大化时的一阶条件。p=MC可以有此式直接求q。•生产者剩余短期生产者剩余［定义］短期生产者剩余：短期的生产者剩余是指企业参与市场交易（供给大于０）较之不参与市场交易而言的福利改进。其数额可由市场价格p线与短期边际成本线MC之间的面积来衡量。qQ*FP,MCS=MC生产者剩余p*短期生产者剩余FTCpqTCqpdqqMCpq)0(0)())((****0**短期生产者剩余长期生产者剩余［定义］长期生产者剩余：长期生产者剩余是企业（或行业０参与市场交易较之不参与市场交易而言在福利上的改进。它也是有市场价格线和长期供给曲线之间的面积来确定的。qQ*FPQ=(r,p)生产者剩余p*长期生产者剩余