1机械振动(川大聂娅老师物理)

机械振动本章内容Contentschapter11简谐振动的描述descriptionofsimpleharmonicmotion简谐振动的能量energyofsimpleharmonicmotionsuperpositionofsimpleharmonicmotion简谐振动的合成*dampedvibrationforcedvibrationandresonance*阻尼振动受迫振动和共振simpleharmonicmotion11.1例如：电路中的电流、电压或电场中的电场强度和磁场中的磁感应强度随时间作周期性变化——电磁振动或电磁振荡等。广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近随时间作周期性变化。掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。简谐振动（simpleharmonicmotion)亦称简谐运动是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。这里主要讨论简谐振动SHM。机械振动vibrationoroscillation物体在它的平衡位置附近所作的往复运动。以物体受力为零的平衡位置为坐标原点水平光滑面，弹簧劲度质量可忽略，物体质量物体在任一位置受的弹性力以铅垂方向为摆角参考轴线单摆在任一角位置所受的重力矩为则取摆幅很小X正X向反X向或质点在恢复力或恢复力矩的作用下的运动即为简谐振动——简谐振动的动力学定义X对于给定的弹簧振子为常量，其比值亦为常量。令则即恢复力恢复力矩简谐振动动力学方程得简谐振动的速度A简谐振动的加速度A应用转动定律，同理也可求得单摆的振动函数A为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。A该微分方程的解通常表成余弦函数简谐振动函数X对于给定的弹簧振子为常量，其比值亦为常量。令简谐振动动力学方程单摆：只要满足方程22d0dxKxt不管x是什么物理量，它的变化就一定是简谐振动的形式，其角频率就等于x的系数的平方根。K注意思考：地球，M、R已知，中间开一遂道；小球m，从地表附近掉入隧道，问，小球是否作简谐振动？2xmMFGx334433xMMxR3mMFGxR是简谐振动xFx试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和运动函数相同。平衡点在受力平衡点小球受弹性力大小选取受力平衡点作为位置坐标原点小球在为置坐标处所受弹性力合外力运动函数A动力学方程微分方程的解：均与水平弹簧振子结果相同XAAAA运动状态要由位置和速度同时描述，而和的正负取决于弹簧振子单摆一定的相一定的运动状态[0,2][,]或A振幅：的最大绝对值A周期：完成一次全振动所需要的时间频率：角频率：相位：是界定振子在时刻的运动状态的物理量由和求给定振子的振幅AAAA消去得初相由和求给定振子的AAA消去得但由于在[0~2)范围内，同一正切值对应有两个值，因此，还必须再根据和的正负进行判断。，不是指振动开始，而是指计时零点。所谓初相：是时，振子的相位。时质点的运动状态AA位置速度初始条件即为简谐振动的加速度AA简谐振动的运动函数简谐振动的速度AAA最大最大最大AAA振动曲线visaheadofx/2andaisaheadofx.AAXXOjM(0)Aj初相M(t)ttM(t)tM(t)tM(t)M(t)tM(t)tM(T)T周期TM(t)tM(t)tXOjM(0)j初相M(t)tA矢量端点在X轴上的投影对应振子的位置坐标t时刻的振动相位(t﹢j)旋转矢量A以匀角速逆时针转动循环往复x=Acos(t﹢j)简谐振动函数0cosxAjUniformCircularMotion(RotatingVector)methodx0振子的运动速度（与X轴同向为正）其速率AAjt旋转矢量端点M作匀速圆周运动AXAAXOjtO旋转矢量端点M的加速度为法向加速度，其大小为A振子的运动加速度（与X轴同向为正）Ajt结论：借助于匀速率圆周运动来研究简谐振动矢径A——振幅矢量(旋转矢量)OjAx参考圆TheprojectionofcircularmotionontoastraightlineisSHM.radius--amplitudeangularspeed--angularfrequencyinitialangulardisplacement–initialphaseΦxO1.若物体处于正的极大位移处，则在相量图中，振幅矢量与x轴的夹角为零，即与x轴正向重合。2.若物体处于负的极大位移处，则在相量图中，振幅矢量与x轴的夹角为，即与x轴负向重合。3.若物体处于平衡位置，则在相量图中，振幅矢量与x轴垂直。0v0vsummaryvmvm2322oroxx4.一般情况下，物体处于任一位置处，在相量图中，振幅矢量均对应两个位置。振幅矢量位于x轴上方；0v振幅矢量位于x轴下方。0voxAoA-AtxT-AxToAt-AxToAtA/2/2A322orj0j3j难点如何根据振动曲线判断振动的初相？0.040.0412简谐振动的曲线完成下述简谐运动函数A=0.04(m)T=2(s)=2/T=(rad/s)0.042A=/2t=0v0从t=0作反时针旋转时A矢端的投影从x=0向X轴的负方运动即，与已知X~t曲线一致v0SI(1)对同一简谐振动，相差(不同时刻)可以给出两振动状态间变化所需的最短时间。tt21()()jjj相差phasedifferenceAAx2Atoab11()cos()xtAtj22()cos()xtAtjxAA03j3126tTTatj2Abttj21()ttt111222cos()cos()xAtxAtjj同频率的简谐振动2121()()ttjjjjj与时间t无关(2)对于两个同频率的简谐振动，相差表示它们之间步调上的差异。（解决振动合成问题）PhasedifferenceoftwoSHMwithsamefrequency相位差等于初相差分析：步调相同——同相(1)若，即2,(0,1,)kkj212kjj11122121cos()cos(2)cos()xAtxAtkAtjjjO1jA1xA2txoA1-A1A2-A2x1x2T同相twooscillatorshavesamephase(inphase).O1jA1xA22j(2)若，(21),(0,1,)kkj11122121cos()cos[(21)]cos()xAtxAtkAtjjjtwooscillatorshaveoppositephase(outofphase).x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相步调相反——反相x2TxoA1-A1A2-A2x1t超前和落后(3)当为其他值时，二者不同相。j若,则x2比x1较早达到同方向的极大值，称x2比x1超前(或x1比x2落后)。210jjj210/2jjOxx2比x1超前2注意：领先、落后以的相位角来判断jOscillation2isaheadofoscillation1Oscillation1isbehindofoscillation2质量为10g的物体沿x轴作简谐振动，振幅A=10cm，周期T=4.0s，t=0时位移x0=–5.0cm，且物体朝–x方向运动，求(1)t=1.0s时物体的位移；(2)t=0之后何时物体第一次到达x=5.0cm处；(3)第二次和第一次经过x=5.0cm处的时间间隔。O10x分析：据已知可画出t=0时振幅矢量图23j210.0cos()cm23xt4.0sTA=10cmt=0时x0=–5.0cm；且朝–x方向运动2Ajt=0-5.0T2rad/s2(1)t=1.0s时物体的位移x210.0cos(1.0)8.66cm23(2)画出相量图第一次到达jtt12s/2j5.0t1t2jxt=0－5.010(3)由相量图可知ttt212/34s/23j23jxtttt12210410.0cos()52,s2333另，解析法：x5.0t=0t1t2－5.010j弹簧振子x0=0t=0时v0=0.4m·s-1m=5×10-3kgk=2×10-4N·m-1完成下述简谐振动函数v0mk0.2(rad·s−1)x0v02(m)x0=0已知相应的旋转矢量图为20.2(SI)v0（以x=0处为零势点）系统的动能A系统的势能A系统的机械能AA振子运动速度AA简谐振动函数振动系统：弹簧劲度振子质量振动角频率如水平弹簧振子均随时间而变且能量相互转换变到最大时变为零系统的机械能守恒。A变为零变到最大时时间能量11.1.2Superpositionofsimpleharmonicmotion且相同同在x轴用旋转矢量法求合振动的函数与计时起始时刻有关合成初相分振动初相差与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长还是相消合成起决定作用1.SuperpositionoftwoSHMinsamedirectionwithsamefrequencies（两个同方向、同频率简谐振动的合成）合振动续上合振动分振动；其中，合振幅若则为合振幅可能达到的最大值若则若为其它值，则处于与之间若则为合振幅可能达到的最小值若则xxtoo21jjj12()cos()xAAtA12AAAj1A2AT两个分振动同相合振幅达最大值11cos()xAt22cos()xAt例如例如xxtoo1221AAAAA2jjT2A2j1AA两个分振动反相合振幅达到最小值21()cos()xAAt11cosxAt22cos()xAt由相量图可知22120.054arccos3751272.22rad2AAAj0.05cos(22.22)xtAA1A2x一物体同时参与两个同方向的简谐振动：1120.04cos(2)xt20.03cos(2)xt求此物体的振动函数。讨论题求三个简谐振动的合振动。12310cos(135)5cos(8)5cos(82)xtxtxt提示：4cos370.852cos(135)xtA3A2A1135°xA’8cos(45)xt将完整的弹簧视为两段弹簧串联而成，根据弹簧串联的性质：121212111FFFlllkkkkkk又：1212lnllnl1122Fklkl12nkk一长度为l、劲度系数为k的均匀轻弹簧分割成长度分别为l1和l2的两部分，且l1=nl2，n为整数。求相应的劲度系数k1和k2。2111(1)(1)nknkknkn1(1)knkn2(1)kknkk讨论：当l1=l2时，122kkk111022200cos()cos()cos()nnnxAtxAtxAtjjj12nAAAAA1A2AnAOxj1A2AnAA1A2AnA直线max12nAAAA封闭多边形min0A振动合成二为了突出重点，设两分振动的振幅相等且初相均为零。合振动频率为的简谐运动频率为的简谐运动Theresultantoscillationisn’tSHM.（合振动不是简谐振动）一般比较复杂，只介绍一种特殊的现象。2.SuperpositionoftwoSHMinsamedirectionwithdifferentfrequencies(同方向不同频率两简谐运动合成)续上若与相差不大，且都较大可看作呈周期性慢变的振幅合振动频率相对较高的简谐运动例如：1秒9Hz8Hz两分振动的频率合振动频率8.5Hz结