专题08 一次函数（正比例函数）的图像、性质和应用（解析板）

一、选择题1.（福州）如图，已知直线yx2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线kyx交于E，F两点.若AB=2EF，则k的值是【】A．1B．1C．12D．34【答案】D．【解析】考点：1.反比例函数与一次函数交点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.相似三角形的判定和性质；4.轴对称的性质.2.（毕节）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为【】A．3x2B．x3C．3x2D．x3【答案】A．【解析】考点：1.一次函数与一元一次不等式；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.数形结合思想的应用.3.（河北）如图，直线l经过第二，三，四象限，l的解析式是ym2xn，则m的取值范围则数轴上表示为【】【答案】C.【解析】考点：1.一次函数图象与系数的关系；2.在数轴上表示不等式的解集.4.（孝感）如图，直线yxm与ynxnn0的交点的横坐标为2，则关于x的不等式xmynxn0的整数解为【】A．1B．5C．4D．3[来源:学*科*网Z*X*X*K]∴关于x的不等式xmynxn0的整数解为-3，故选D．考点：1.一次函数与一元一次不等式；2.数形结合思想的应用．5.（潍坊）已知一次函数y1=kx+b（kO）与反比例函数y2=mx(m≠0)的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是-1和3，当y1y2时，实数x的取值范围是()A．x-l或0x3B．一1x0或0x3C．一1x0或x3D．0x3【答案】A．【解析】考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.数形结合思想的应用．6.（重庆B）若点（3，1）在一次函数ykx2(k0)的图象上，则k的值是【】A、5B、4C、3D、1【答案】D.【解析】试题分析：根据点在曲线图上点的坐标满足方程的关系，把（3，1）代入ykx2(k0)，得13k2k1.故选D.考点：曲线上点的坐标与方程的关系.二、填空题1.（梅州）已知直线y=kx+b，若k+b=－5，kb=6，那么该直线不经过．．．第▲象限.考点：1.不等式的性质；2.一次函数图象与系数的关系.2.．（武汉）一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为▲米【答案】2200．【解析】试题分析：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由行程问题的数量关系建立方程组求出其解即可：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意，得1600100a1400100b1600300a1400200b，解得：a2b4，∴这次越野跑的全程为：1600+300×2=2200米．考点：1.一次函数的应用；2.方程思想的应用．3.（孝感）正方形11122213332ABCO,ABCC,ABCC,按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线yx1和x轴上，则点B6的坐标是▲．【答案】63,32.【解析】考点：1.探索规律题（图形的变化类）；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.正方形的性质；4.等腰直角三角形的判定和性质.4.（张家界）已知一次函数y1mxm2，当m▲时，y随x的增大而增大.考点：一次函数图象与系数的关系.5.（赤峰）直线l过点M2,0，该直线的解析式可以写为▲．（只写出一个即可）考点：1.开放型；2.直线上点的坐标与方程的关系．6.（成都）在平面直角坐标系中，已知一次函数y2x1的图像经过111P(x,y)，222P(x,y)两点，若12xx，则1y▲2y.（填””，””或”=”）7.（舟山）过点(－1，7)的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线3yx12平行．则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是▲．【答案】（1，4），（3，1）．【解析】试题分析：平行线的解析式一次项系数相等，设直线AB为3yxb2，将点(－1，7)代入可求直线AB的解析式，根据A，B的坐标，确定x、y的取值范围求解：考点：1.平行线的解析式之间的关系；2.待定系数法的应用；3.直线上点的坐标与方程的关系.三、解答题1.（玉林、防城港）（12分）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．【答案】（1）14；（2）①y=14x2+1；②证明见解析.【解析】试题分析：（1）直线与抛物线的交点B与A关于原点对称，即横纵坐标对应互为相反数，即相加为零，应用韦达定理即可得到k的值，求出抛物线的顶点坐标代入直线方程即可求得a值．（2）①直线l：y=kx向上平移k2+1，得直线r：y=kx+k2+1．根据无论非零实数k取何值，直线r与抛物线∵B与A关于原点对称，∴0=xA+xB=k1a，解得k=1．∴l：y=x.∵2211yaxx1ax12a4a，∴抛物线的顶点坐标为11,12a4a.∵顶点11,12a4a在y=x上，∴1112a4a，解得1a4．（2）①∵无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点，∴k=1时，k=2时，直线r与抛物线C都只有一个交点．当k=1时，r：y=x+2，∴代入C：y=ax2+bx+1中，得2axb1x10.∵2b14a0，∴2b14a0.当k=2时，r：y=2x+5，∴代入C：y=ax2+bx+1中，得2axb2x40.∵2b216a0，∴2b216a0.，∵P在抛物线y=14x2+1上，∴设P坐标为（x，14x2+1）.连接OP，过P作PQ⊥直线y=2于Q，作PD⊥x轴于D，∵PD=|14x2+1|，OD=|x|，∴2224224222111111OPPDODxx1xxx1x1x116216244.又∵22P11PQ2y2x1x144，∴OP=PQ．考点：1.二次函数和一次函数综合题；2.中心对称和平移问题；3.二次函数的性质；4.一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；5.勾股定理；6.特殊元素法的应用；7.分类思想和数形结合思想的应用．2.（黔东南）（12分）黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．【答案】（1）30，27；（2）y30x0x20y21x180x20＜＞；（3）当购进玩具正好30件，选择购其中一种即可，当购进玩具超过30件，选择购甲种玩具省钱，当购进玩具少于30件，选择购乙种玩具省钱．【解析】∴y与x的函数关系式y30x0x20y21x180x20＜＞.（3）设购进玩具x件（x＞20），则乙种玩具消费27x元，当27x=21x+180，则x=30.∴当购进玩具正好30件，选择购其中一种即可.当27x＞21x+180，则x＞30.∴当购进玩具超过30件，选择购甲种玩具省钱.当27x＜21x+180，则x＜30.∴当购进玩具少于30件，选择购乙种玩具省钱．考点：1.一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用；2.分类思想的应用.3.（遵义）（10分）为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途径乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y（km）与自行车队离开甲地时间x（h）的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：（1）自行车队行驶的速度是▲km/h；（2）邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？（3）邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？【答案】（1）24；（2）23；（3）120km．【解析】[来源:学§科§网]答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；（3）如答图，由题意，得，邮政车到达丙地的时间为：135÷60=94，∴邮政车从丙地出发的时间为：9212144.∴B（214，135），C（7.5，0）．自行车队到达丙地的时间为：135÷24+0.5=+0.5=，∴D（，135）．4.（黄冈）如图，已知双曲线1yx与两直线1yx4、ykx（k0且1k4）分别相交于A、B、C、D四点．（1）当C(－1，1)时，A、B、D三点的坐标分别是A(▲，▲)、B(▲，▲)、D(▲，▲)．（2）证明：以A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形；（3）当k为何值时，ADBC是矩形？【答案】（1）11A2B222，，，，D（1，-1）；（2）证明见解析；（3）4.【解析】（3）由A与B坐标，利用两点间的距离公式求学科网出AB的长，联立双曲线1yx与直线ykx，表示出CD的长，根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到AB=CD，即可求出此时k的值．试题解析：（1）11A2B222，，，，D（1，-1）.考点：1.反比例函数与正比例函数综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.平行四边形的判定；4矩形的性质；5.勾股定理；6.反比例函数与正比例函数的中心对称性质.5.（黄冈）（9分）某地实行医保制度，并规定：一、每位居民年初缴纳医保基金70元；二、居民个人当年看病的医疗费（以定点医院的医疗发票为准，年底按表一的方式结算）报销看病的医疗费用．表一：居民个人当年看病的医疗费用医疗费用报销办法不超过n元的部分[来源:学&科&网]全部由医保基金承担（即全额报销）超过n元但不超过6000元的部分个人承担k%，其余由医保基金承担超过6000元的部分个人承担20%，其余由医保基金承担设一位居民当年看病的医疗费用为x元，他个人实际承担的医疗费用（包括医疗费用中个人承担的部分和年初缴纳的医保基金）记为y元．（1）当0≤x≤n时，y=70；当nx≤6000时，y=▲(用含n、k、x的代数式表示）（2）表二是该地A、B、C三位居民2013年看病的医疗费和个人实际承担的医疗费用，根据表中的数据，求出n、k的值．表二：居民ABC个人看病所花费的医费用x（元）4008001500个人实际承担的医疗费用y（元）70190470（3）该地居民周大爷2013年看病的医疗费用共32000元，那么他这一年个人实际承担的医疗费用是多少元？考点：1.阅读理解型问题；2.一次函数的应用；3.二元一次方程组的应用；4.列代数式．6.（十堰）（8分）某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民的大病住院医疗费用的报销比例标准如下表：[来源:Zxxk.Com]医疗费用范围报销比例标准不超过8000元不予报销超过