专题11 方程、不等式和函数的应用综合（解析板）

一、选择题1.（遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是【】故选D．考点：二次函数和一次函数的图象．2.（宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数yax与2yax的图象有可能是【】【答案】C.【解析】试题分析：由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），错误；B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，错误；C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，且当x=1时，两函数图象有交点（1，a），正确；D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，错误.故选.C.考点：一次函数和二次函数图象与系数的关系.二、填空题三、解答题1.（玉林、防城港）（12分）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．【答案】（1）14；（2）①y=14x2+1；②证明见解析.【解析】PQ的值，再进行比较．讨论动点P在抛物线y=14x2+1上，则可设其坐标为（x，14x2+1），进而易求OP，PQ．试题解析：（1）∵l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，当b=1时有A，B两交点，∴A，B两点的横坐标满足kx=ax2+x+1，即ax2+（1﹣k）x+1=0．∵B与A关于原点对称，∴0=xA+xB=k1a，解得k=1．∴l：y=x.∵2211yaxx1ax12a4a，∴抛物线的顶点坐标为11,12a4a.∴联立得关于a，b的方程组22b14a0b216a0，解得1a4b0或1a364b3．∵r：y=kx+k2+1代入C：y=ax2+bx+1，得22axbkxk0，∴22bk4ak．当1a4b0时，22221k4kkk04，∴无论k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．当1a364b3时，222418816k4kkk336939，显然随k值的变化，△不恒为0，∴不合题意舍去．∴C：y=14x2+1．考点：1.二次函数和一次函数综合题；2.中心对称和平移问题；3.二次函数的性质；4.一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；5.勾股定理；6.特殊元素法的应用；7.分类思想和数形结合思想的应用．2.（毕节）（12分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；[来源:Z+xx+k.Com]（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．【答案】（1）y=﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；（2）6.【解析】试题分析：（1）每件的利润为6+2（x﹣1），生产件数为95﹣5（x﹣1），则y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]；（2）由题意可令y=1120，求出x的实际值即可．考点：1.二次函数的应用；2.一元二次方程的应用.3.（黔东南）（12分）黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．答：件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元.（2）当0＜x≤20时，y=30x；考点：1.一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用；2.分类思想的应用.4.（遵义）（10分）为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途径乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y（km）与自行车队离开甲地时间x（h）的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：（1）自行车队行驶的速度是▲km/h；（2）邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？（3）邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？[来源:Z*xx*k.Com]【答案】（1）24；（2）23；（3）120km．【解析】（2）由题意得，邮政车的速度为：24×2.5=60km/h．设邮政车出发a小时两车相遇，由题意得24（a+1）=60a，解得：a=23．∴ED的解析式为2241yx2．当y1=y2时，60x45024x12，解得：x=5.5．y1=﹣60×5.5+450=120．答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km．考点：1.一元一次方程和一次函数的应用；2.待定系数法的应用；3.直线上点的坐标与方程的关系．5.（河北）（本小题满分13分）某景区的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图，现有1号，2号两游览车分别从出口A和经典C同时出发，1号车顺时针，2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时乘车（上，下车的时间忽略不计），两车的速度均为200米/分.探究：设行驶时间为t分（1）当0≤t≤s时，分别写出1号车，2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过点C？，并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数.发现：如图，游客甲在BC上一点K（不与点B,C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米.情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车；比较哪种情况用时较多？（含候车时间）决策：已知游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50米/分，当行进到DA上一点P（不与D,A重合）时，刚好与2号车相遇.（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由；（2）设PA=s（0s800）米，若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？【答案】探究：（1）3分钟或5分钟；（2）5次；发现：情况二用时较多；决策：（1）乘1号车的用时比2号车少；（2）当0＜s＜320时，选择步行；当320＜s＜800时，选择乘1号车，当s=320时，选择步行或乘1号车一样．【解析】试题分析：探究：（1）由路程=速度×时间就可以得出y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，再由关系式就可以求出两车相距的路程是400米时t的值.（2）求出1号车3次经过A的路程，进一步求出行驶的时间，由两车第一次相遇后每相遇一次需要的时间就可以求出相遇次数.发现：分别计算出情况一的用时和情况二的用时，再进行大小比较就可以求出结论.决策：（1）根据题意可以得出游客乙在AD上等待乘1号车的距离小于边长，而成2号车到发现：由题意，得情况一需要时间为：8004xx16200200，情况二需要的时间为：8004xx16200200，∵xx1616200200，∴情况二用时较多．决策：（1）∵游客乙在AD边上与2号车相遇，∴此时1号车在CD边上.∴乘1号车到达A的路程小于2个边长，乘2号车的路程大于3个边长，∴乘1号车的用时比2号车少．（2）若步行比乘1号车的用时少，s80000252s0＜，∴s＜320．∴当0＜s＜320时，选择步行．同理可得，当320＜s＜800时，选择乘1号车，当s=320时，选择步行或乘1号车一样．考点：1.阅读理解型问题；2.一次函数、一元一次方程、一元一次不等式组的应用；3.分类思想的应用．6.（河南）(10分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍。设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.①求y与x的关系式；②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台。若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.【答案】（1）100，150；（2)①y＝－50x＋15000；②34，66；（3）当0＜m＜50时，34，66；当m=50时，3313≤x≤70的整数；当50＜m＜100时，70，30.【解析】∵y＝－50x+15000，－50＜0，∴y随x的增大而减小.即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润．考点：1.一次函数、二元一次方程组及一元一次不等式的应用；2.分类思想的应用.7.（黄冈）（9分）某地实行医保制度，并规定：一、每位居民年初缴纳医保基金70元；二、居民个人当年看病的医疗费（以定点医院的医疗发票为准，年底按表一的方式结算）报销看病的医疗费用．表一：居民个人当年看病的医疗费用医疗费用报销办法不超过n元的部分全部由医保基金承担（即全额报销）超过n元但不超过6000元的部分个人承担k%，其余由医保基金承担超过6000元的部分个人承担20%，其余由医保基金承担设一位居民当年看病的医疗费用为x元，他个人实际承担的医疗费用（包括医疗费用中个人承担的部分和年初缴纳的医保基金）记为y元．（1）当0≤x≤n时，y=70；当nx≤6000时，y=▲(用含n、k、x的代数式表示）（2）表二是该地A、B、C三位居民2013年看病的医疗费和个人实际承担的医疗费用，根据表中的数据，求出n、k的值．表二：居民ABC个人看病所花费的医费用x（元）4008001500个人实际承担的医疗费用y（元）70190[来源:学科网]470（3）该地居民周大爷2013年看病的医疗费用共32000元，那么他这一年个人实际承担的医疗费用是多少元？【答案】（1）0.01kxn70；（2）n500,k40；（3）7470．【解析】考点：1.阅读理解型问题；2.一次函数的应用；3.二元一次方程组的应用；4.列代数式．7.（武汉）已知直线y2xb经过点(1，－1)，求关于x的不等式2x－b≥0的解集.考点：一次函数与一元一次不等式．8.（武汉）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x＋4090每天销量（件）200－2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元[（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多