专题13 圆与正多边形-三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（全国通用）（解析版）

1/60专题13.圆与正多边形一、单选题1．（2021·四川成都市·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A．4B．6C．8D．12【答案】D【分析】根据正多边形内角和公式求出∠FAB，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积计算即可．【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB=621801206，AB=6，∴扇形ABF的面积=2120612360pp´=，故选择D．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．2．（2021·云南中考真题）如图，等边ABC的三个顶点都在O上，AD是O的直径．若3OA，则劣弧BD的长是（）A．2B．C．32D．2【答案】B【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，证明△AOB≌△AOC，得到∠BAO=∠CAO=30°，2/60得到∠BOD，再利用弧长公式计算．【详解】解：连接OB，OC，∵△ABC是等边三角形，∴∠BOC=2∠BAC=120°，又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠BAO=∠CAO=30°，∴∠BOD=60°，∴劣弧BD的长为603180=π，故选B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是求出圆心角∠BOD的度数．3．（2021·广西玉林市·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”．下列判断正确的是（）A．两人说的都对B．小铭说的对，小燕说的反例不存在C．两人说的都不对D．小铭说的不对，小熹说的反例存在【答案】D【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．4．（2021·青海中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，16AB厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．3/60A．1.0厘米/分B．0.8厘米分C．12厘米/分D．1.4厘米/分【答案】A【分析】首先过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．【详解】解：过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，∴AC=12AB=12×16=8（厘米），在Rt△AOC中，22221086OCOAAC（厘米），∴CD=OC+OD=16（厘米），∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，∴16÷16=1（厘米/分）．∴“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．故选：A．【点睛】此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解．5．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝2，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】C【分析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，根据圆周角定理可得∠COB＝2∠CAB＝60°，∠OBC＝∠OCB＝60°，由此可求得答案．4/60【详解】解：如图，连接OB，OC，∵OA＝OB＝1，AB＝2，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，又∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．6．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，90B，120BCD，2AB，1CD，则AD的长为（）A．232B．33C．43D．2【答案】C【分析】如图，延长AD，BC，二线交于点E，可求得∠E=30°，在Rt△CDE中，利用tan30°计算DE，在Rt△ABE中，利用sin30°计算AE，根据AD=AE-DE求解即可；【详解】如图，延长AD，BC，二线交于点E，∵∠B=90°，∠BCD=120°，∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°，∴∠ADC=∠EDC=90°，在Rt△CDE中，tan30°=DCDE，∴DE=133=3，5/60在Rt△ABE中，sin30°=ABAE，∴AB=212=4，∴AD=AE-DE=43,故选C【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补，特殊角的三角函数值，延长构造直角三角形，灵活运用直角三角形特殊角的三角函数值计算是解题的关键．7．（2021·四川广元市·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（）A．4B．24C．12D．1【答案】B【分析】先计算BC的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于BC的长度，根据公式计算即可．【详解】解：如下图：连接BC，AO，∵90BAC，∴BC是直径，且BC=2，又∵ABAC，∴45ABCACB，,AOBC又∵sin45OAAB，112OABC，∴212sin452OAAB，∴BC的长度为：9022=1802，∴围成的底面圆周长为22，设圆锥的底面圆的半径为r，则：222r，∴212=224r．故选：B【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出6/60扇形的半径是解题的关键．8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，2CDOE，则BCD的度数为（）A．15B．22.5C．30°D．45【答案】B【分析】连接OD，据垂径定理得CD=2DE，从而得ODE是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：连接OD，∵AB是O的直径，弦CDAB于点E，∴CD=2DE，∵2CDOE，∴DE=OE，∴ODE是等腰直角三角形，即∠BOD=45°，∴BCD=12∠BOD=22.5°，故选B．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理，是解题的关键．9．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（）A．32B．2C．1D．527/60【答案】D【分析】取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，∠OFA=∠OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，∵AE是以BC为直径的半圆的切线，∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，∴AB=AF=2，CE=CF，∵OA=OA，∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），同理可证△OCE≌△OFE，∴,AOBAOFCOEFOE，∴90AOBCOEAOBBAO，∴COEBAO，∴ABOOCE∽，∴OCCEABOB，∴12CE，∴15222222ABOOCEABCESSSSSS阴影半圆半圆四边形；故选D．【点睛】本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．10．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形ABCD中，60D，2AB，以B为圆心、BC长为半径画AC，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当BPC△为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）A．23132B．23132C．2D．3122【答案】A8/60【分析】以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，判断出90PBC，再根据∠BCP=90°和∠BPC=90°两种情况判断出点P的位置，启动改革免费进行求解即可．【详解】解：以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，∵△BPC为等腰直角三角形，且点P在菱形ABCD的内部，很显然，90PBC①若∠BCP=90°，则CP=BC=2这C作CE⊥AD,交AD于点E，∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=DA=2，∠D=∠ABC=60°∴CE=CDsin∠D=23322∴点P在菱形ABCD的外部，∴与题设相矛盾，故此种情况不存在；②∠BPC=90°过P作PF⊥BC交BC于点F，∵△BPC是等腰直角三角形，∴PF=BF=12BC=1∴P(1,1)，F(1,0)过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ABG中，∠ABG=60°∴∠BAG=30°∴BG=112AB，AG=33BG∴A(1,3)，(1,0)G∴点F与点G重合∴点A、P、F三点共线∴31APAFPF∴1311(31)22ABPS12112BPCS26022=3603BACS扇形∴231231=13232ABPBPCBACSSSS阴影扇形故选：A．【点睛】此题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及求不规则图形的面积等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键．11．（2021·浙江衢州市·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150．则它的面积是（）9/60A．32B．3C．5D．15【答案】D【分析】已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式2360nRS直接计算即可．【详解】解：2150615360S．故选：D【点睛】本题考查扇形面积公式的知识点，熟知扇形面积公式及适用条件是解题的关键．12．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，正方形ABCD内接于O，线段MN在对角线BD上运动，若O的面积为2π，1MN，则AMN周长的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．【详解】如图所示，（1）N为BD上一动点，A点关于线段BD的对称点为点C，连接CN，则=CNAN，过A点作CN的平行线AG，过C点作BD的平行线CG，两平行线相交于点G，AG与BD相交于点M．//,//,CNMGNMCG四边形CNMG是平行四边形MGCNMGAN10/60则=1AMNCANAMNMMGAM（2）找一点'N，连接'CN，则'='CNAN，过G点作'CN的平行线MG，连接'AM则''=''''''''''1AMNCANAMNMANAMCGANAMNMANAM．此时1''1ANAMANAM''AMNAMNCC（1）中AMN周长取到最小值四边形CNMG是平行四边形CNMNMA四边形ABCD是正方形COOA，ACBD又CNMNMA，NOCMOA