专题14 三角形问题（解析板）

一、选择题1.（玉林、防城港）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是【】A．3B．6C．9D．12考点：位似变换的性质．2.（毕节）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于【】A．154B．125C．203D．174【答案】A．【解析】试题分析：根据已知条件得出△ADC∽△BDE，然后依据对应边成比例即可求得结果：∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE，∴△ADC∽△BDE，∴DCADDEBD.又∵AD：DE=3：5，AE=8，∴AD=3，DE=5.∵BD=4，∴DC35DC544.故选A．考点：相似三角形的判定和性质.3.（遵义）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为【】A．22B．32C．31D．1【答案】C．【解析】故选C．考点：1.旋转的性质；2.等边三角形的判定和性质；3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理．4.（河北）如图，△ABC中，D，E分别上边AB，AC的中点，若DE=2，则BC=【】A、2B、3C、4D、5【答案】C.【解析】试题分析：∵△ABC中，D,E分别上边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线.∵DE=2，∴BC=2DE=4.故选C.考点：三角形中位线定理.5.（河北）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：对于两人的观点，下列说法正确的是【】A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对【答案】A．【解析】考点：相似三角形和多边形的判定．6.（十堰）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为【】A．23B．10C．22D．6故选C．考点：1.等腰三角形的判定和性质；2.直角三角形斜边上的中线性质3.；勾股定理．7.（孝感）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为，若ACa,BDb，则ABCD的面积是【】A．1absin2B．absinC．abcosD．1abcos2考点：1.平行四边形的性质；2.解直角三角形．8.（张家界）如图，在RtABC中，ACB60，DE是斜边AC的中垂线分别交AB、AC于D、E两点，若BD=2，则AC的长是【】A．4B43C.8D.83考点：1.线段垂直平分线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理．9.（南京）若ABCABC∽，相似比为1:2，则ABC与ABC的面积的比为【】A.1:2B.2:1C.1:4D.4:1考点：相似三角形的性质.10.（南京）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（-2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标为【】A.（23，3）、（23，4）B.（23，3）、（12，4）C.(47，27)、（23，4）D.(47，27)、（12，4）【答案】B.【解析】故选B.考点：1.矩形的性质；2.坐标与图形性质；3.全等三角形的判定和性质；4.相似三角形的判定和性质．11.（扬州）如图，已知AOB60，点P在边OA上，OP=12，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A.3B.4C.5D.6【答案】C．【解析】考点：1.锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3.等腰三角形的性质．12.（扬州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60º，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tanMCN（）A.1333B.1152C.932D.25【答案】A．【解析】考点：1.等边三角形的判定和性质；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.勾股定理；5.比例的性质；6.方程思想的应用.13.（呼和浩特）已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为【】A．△CDE与△ABF的周长都等于10cm，但面积不一定相等B．△CDE与△ABF全等，且周长都为10cmC．△CDE与△ABF全等，且周长都为5cmD．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定【答案】B．【解析】考点：1.矩形的性质；2.菱形的判定和性质；3.全等三角形的判定和性质.14.（滨州）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是【】A．4,5,6B．1.5,2，2.5C．2,3,4D．1，2，3【答案】B．【解析】考点：勾股定理的逆定理．15.（滨州）在△ACB中，∠C=90°，AB=10，3sinA5，4cosA5，3tanA4.则BC的长为【】A．6B．7.5C．8D．12.5【答案】A．【解析】试题分析：∵∠C=90°，∴BC3sinAAB5.又∵AB=10，∴33BCAB10655.故选A．考点：1.解直角三角形；2.锐角三角函数定义．16.（潍坊）等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程2x12xk0的两个根，则k的值是()A:27B:36C:27或36D:18【答案】B．【解析】考点：1.等腰三角形的性质；2.一元二次方程的解；3.三角形三边关系；4.分类思想的应用．17.（天津）cos60o的值等于【】（A）12（B）33（C）32（D）3【答案】A．【解析】试题分析：直接根据特殊角的三角函数值作答：ocos6012.故选A．考点：特殊角的三角函数值.18.（天津）正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是【】（A）3（B）2（C）3（D）23【答案】B．【解析】考点：1.正多边形和圆；2.勾股定理；3.方程思想的应用．19.（天津）如图，ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于【】（A）3：2（B）3：1（C）1：1（D）1：2【答案】D．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC.∴△EFD∽△CFB.∴EF：FC=ED：BC.∵点E是边AD的中点，∴ED=12AD=12BC.∴EF：FC=12BC：BC=1：2.故选D．考点：1.平行四边形的性质；2.相似三角形的判定和性质.20.（金华）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为3,tan2，则t的值是【】A．1B．1.5C．2D．3考点：1.点的坐标；2.锐角三角函数定义.21.（金华）如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是【】A．70°B．65°C．60°D．55°【答案】B．【解析】试题分析：∵将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，∴AC=CA′，∠B′A′C=∠BAC.∴∠AA′C=45°.∵∠1=20°，∴∠B′A′C=∠BAC=25°.∴∠B=65°.故选B．考点：1.旋转的性质；2.等腰三角形的性质．22.（金华）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是【】A．5:4B．5:2C．5:2D．5:2【答案】A.【解析】故选A.考点：1.等腰直角三角形的判定和性质；2.勾股定理；3.扇形面积和圆面积的计算.23.（舟山）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为【】(A)16cm(B)18cm(C)20cm(D)22cm考点：平移的性质．24.（重庆B）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2，若BC＝1，则EF的长是【】A、1B、2C、3D、4【答案】B．【解析】试题分析：根据相似三角形对应边成比例的性质即可得：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，BC＝1，∴EF=2.故选B．考点：相似三角形的性质.二、填空题1.（福州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使1CFBC2..若AB=10，则EF的长是▲．考点：1.三角形中位线定理；2.全等三角形的判定和性质.2.（梅州）如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C，A’B’交AC于点D，若∠A’DC=90°，则∠A=▲°.【答案】55.【解析】试题分析：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C，∴∠ACA’=35°，∠A=∠A’，.∵∠A’DC=90°，∴∠A’=55°.∴∠A=55°.考点：1.旋转的性质；2.直角三角形两锐角的关系.3.（珠海）如图，在等腰1RtOAA中，01OAA90，OA=1，以OA1为直角边作等腰12RtOAA，以OA2为直角边作等腰23RtOAA，•••则OA6的长度为▲.【答案】8.【解析】试题分析：根据题意和等腰直角三角形的性质，有23n33n1OA2,OA22,OA222,OA2，∴66OA28.考点：1.探索规律题（图形的变化类）；2.等腰直角三角形的性质.4.（玉林、防城港）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长是▲．【答案】7+3．【解析】考点：1.直角梯形的性质；2.平行的性质；3.等腰三角形的判定和性质；4.锐角三角函数定义；5.特殊角的三角函数值；6.勾股定理．5.（毕节）将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为▲度．【答案】30.【解析】考点：1.矩形和平行四边形的性质；2.含30度角的直角三角形性质.6.（毕节）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为▲．【答案】32．【解析】考点：特殊角的三角函数值．8.（遵义）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FE⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH=▲里．【答案】1.05.【解析】试题分析：根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可：∵EG⊥AB，FE⊥AD，HG经过A点，∴FA∥EG，EA∥FH.∴∠HFA=∠AEG=90°，∠FHA=∠EAG.∴△GEA∽△AFH.∴EGEAFAEH．∵AB=9里，DA=7里，EG=15里，∴FA=3.5里，EA=4.5里.∴154.5EH1.053.5EH里．考点：相似三角形的应用．9.（十堰）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是▲海里．（结果精确到个位，参考数据：21.4,31.7,62.4）【答案】24.【解析】考点：1.解直角三角形的应用（方向角问题）；2.平行线的性质；3.三角形内角和定理；4.锐角三角函数定义；5.特殊角的三角函数值.10.（武汉）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为▲.【答案】41.【解析】∴BD=CD′=41.考点：1.等腰直角三角形的判定和性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.转换思想的应用．11.（襄阳）如图，在建筑平台CD的顶部C处，