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2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题18图形的相似与位似（共50题）一．选择题（共18小题）1．（2020•河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A．四边形NPMQB．四边形NPMRC．四边形NHMQD．四边形NHMR【分析】由以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC=√5，OM＝2√5，OD=√2，OB=√10，OA=√13，OR=√5，OQ＝2√2，OP＝2√10，OH＝3√5，ON＝2√13，由𝑂𝑀𝑂𝐶=2，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果．【解析】∵以点O为位似中心，∴点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC=√22+12=√5，OM=√42+22=2√5，OD=√2，OB=√32+12=√10，OA=√32+22=√13，OR=√22+12=√5，OQ＝2√2，OP=√62+22=2√10，OH=√62+32=3√5，ON=√62+42=2√13，∵𝑂𝑀𝑂𝐶=2√5√5=2，∴点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，∴以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故选：A．2．（2020•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5【分析】根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．【解析】∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：C．3．（2020•遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则𝐵𝐸𝐸𝐺的值为（）A．12B．13C．23D．34【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴𝐵𝐸𝐸𝐺=𝐴𝐵𝐶𝐺=2𝑘3𝑘=23，故选：C．4．（2020•遂宁）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，②AP＝FP，③AE=√102AO，④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，⑤CE•EF＝EQ•DE．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】①正确．证明∠EOB＝∠EOC＝45°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．②正确．利用四点共圆证明∠AFP＝∠ABP＝45°即可．③正确．设BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解决问题．④错误，通过计算正方形ABCD的面积为48．⑤正确．利用相似三角形的性质证明即可．【解析】如图，连接OE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∴∠BOC＝90°，∵BE＝EC，∴∠EOB＝∠EOC＝45°，∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确，连接AF．∵PF⊥AE，∴∠APF＝∠ABF＝90°，∴A，P，B，F四点共圆，∴∠AFP＝∠ABP＝45°，∴∠PAF＝∠PFA＝45°，∴PA＝PF，故②正确，设BE＝EC＝a，则AE=√5a，OA＝OC＝OB＝OD=√2a，∴𝐴𝐸𝐴𝑂=√5𝑎√2𝑎=√102，即AE=√102AO，故③正确，根据对称性可知，△OPE≌△OQE，∴S△OEQ=12S四边形OPEQ＝2，∵OB＝OD，BE＝EC，∴CD＝2OE，OE∥CD，∴𝐸𝑄𝐷𝑄=𝑂𝐸𝐶𝐷=12，△OEQ∽△CDQ，∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，∴S△CDO＝12，∴S正方形ABCD＝48，故④错误，∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，∴△EPF∽△ECD，∴𝐸𝐹𝐸𝐷=𝑃𝐸𝐸𝐶，∵EQ＝PE，∴CE•EF＝EQ•DE，故⑤正确，故选：B．5．（2020•潍坊）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且𝐷𝐸𝐴𝐸=12，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（）A．21B．28C．34D．42【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴𝐷𝐸𝐴𝐸=𝐹𝐷𝐴𝐵=12，∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．故选：C．6．（2020•天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）A．17.5mB．17mC．16.5mD．18m【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．【解析】∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐸𝐶𝐷，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴1.214=1.5𝐷𝐶，解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，故选：A．7．（2020•牡丹江）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】证明△AFD∽△EBA，得到𝐴𝐹𝐵𝐸=𝐴𝐷𝐴𝐸=𝐷𝐹𝐴𝐵，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴𝐴𝐹𝐵𝐸=𝐴𝐷𝐴𝐸=𝐷𝐹𝐴𝐵，∵DF＝6，∴AF=√102−62=8，∴8𝐵𝐸=10𝐴𝐸=63，∴AE＝5，∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3．故选：B．8．（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足𝑀𝐺𝑀𝑁=𝐺𝑁𝑀𝐺=√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（）A．10﹣4√5B．3√5−5C．5−2√52D．20﹣8√5【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH＝CH=12BC＝2，则根据勾股定理可计算出AH=√5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE=√5−12BC＝2√5−2，则计算出HE＝2√5−4，然后根据三角形面积公式计算．【解析】作AH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC，∴BH＝CH=12BC＝2，在Rt△ABH中，AH=√32−22=√5，∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，∴BE=√5−12BC＝2（√5−1）＝2√5−2，∴HE＝BE﹣BH＝2√5−2﹣2＝2√5−4，∴DE＝2HE＝4√5−8∴S△ADE=12×（4√5−8）×√5=10﹣4√5．故选：A．9．（2020•成都）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．103【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解析】∵直线l1∥l2∥l3，∴𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐸𝐹，∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，∴56=𝐷𝐸4，∴DE=103，故选：D．10．（2020•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．𝐴𝐸𝐸𝐶=𝐸𝐹𝐶𝐷B．𝐸𝐹𝐶𝐷=𝐸𝐺𝐴𝐵C．𝐴𝐹𝐹𝐷=𝐵𝐺𝐺𝐶D．𝐶𝐺𝐵𝐶=𝐴𝐹𝐴𝐷【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【解析】∵EF∥BC，∴𝐴𝐹𝐹𝐷=𝐴𝐸𝐸𝐶，∵EG∥AB，∴𝐴𝐸𝐸𝐶=𝐵𝐺𝐺𝐶，∴𝐴𝐹𝐹𝐷=𝐵𝐺𝐺𝐶，故选：C．11．（2020•安徽）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA=45，则BD的长度为（）A．94B．125C．154D．4【分析】在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．【解析】∵∠C＝90°，AC＝4，cosA=45，∴AB=𝐴𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴=5，∴𝐵𝐶=√𝐴𝐵2−𝐴𝐶2=3，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A=𝐵𝐶𝐵𝐷=45，∴𝐵𝐷=3×54=154，故选：C．12．（2020•无锡）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，有下列结论：①CP与QD可能相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为31√316；④四边形PCDQ周长的最小值为3+√372．其中，正确结论的序号为（）A．①④B．②④C．①③D．②③【分析】①利用图象法判断即可．②当∠ADQ＝∠CPB时，△ADQ∽△BPC．③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积=√34×32−12×x×√32×12−12×3×（3﹣x−12）×√32=3√38+5√35x，当x取最大值时，可得结论．④如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，此时四边形P′CD′Q′的周长最小．求出CF的长即可判断．【解析】①利用图象法可知PC＞DQ，故①错误．②∵∠A＝∠B＝60°，∴当∠ADQ＝∠CPB时，△ADQ∽△BPC，故②正确．③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积=√34×32−12×x×√32×12−12×3×（3﹣x−12）×√32=3√38+5√38x，∵x的最大值为3−12=52，∴x=52时，四边形PCDQ的面积最大，最大值=31√316，故③正确，如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，此时四边形P′CD′Q′的周长最小．过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H，交AB于J．由题意，DD′＝2AD•sin60°=√32，HJ=12DD′=√34，CJ=3√32，FH=32−12−14=34，∴CH＝CJ+HJ=7√34，∴CF=√𝐹𝐻2+𝐶𝐻2=√(34)2+(7√34)2=√392，∴四边形P′CDQ′的周长的最小值＝3+√392，故④错误，故选：D．13．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，