专题20 二次函数综合题（第01期）-2019年中考真题数学试题分项汇编（解析版）

专题20二次函数综合题1．（2019•河南）如图，抛物线y=ax2+12x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=–12x–2经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；②作点B关于点C的对称点B′，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y=kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2+12x–2．（2）①点P的坐标为（-2，-2）或（6，10）.②直线l的解析式为y=–424mmx–2，y=424mmx–2或y=x–34m–2．【解析】（1）∵直线y=–12x–2交x轴于点A，交y轴于点C，∴A（-4，0），C（0，-2）.∵抛物线y=ax2+12x+c经过点A，C，∴01622acc，∴142ac∴抛物线的解析式为y=14x2+12x–2．（2）①∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，14m2+12m–2）.当△PCM是直角三角形时，有以下两种情况：（i）当∠CPM=90°时，PC∥x轴，14x2+12x–2=-2.解得m1=0（舍去），m2=-2.∵当m=-2时，14m2+12m–2=-2.∴点P的坐标为（-2，-2）.（ii）当∠PCM=90°时，过点P作PN⊥y轴于点N，∴∠CNP=∠AOC=90°.∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，：∠NCP=∠OAC，∴△GNP∽△AOC，∴CNPNAOCO，∵C（0，-2），N（0，14m2+12m–2），∴CN=21142mm，PN=m.即2114242mmm，解得a3=0（含去），m4=6.∵当m=6时，14m2+12m–2=10，∴点P的坐标为（6，10）.综上所述，点P的坐标为（-2，-2）或（6，10）.②当y=0时，14x2+12x–2=0，解得x1=–4，x2=2，∴点B的坐标为（2，0）．∵点C的坐标为（0，–2），点B，B′关于点C对称，∴点B′的坐标为（–2，–4）．∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），∴点M的坐标为（m，–12m–2）．利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y=–424mmx+42mm，直线B′M的解析式为y=424mmx–542mm，直线BB′的解析式为y=x–2．分三种情况考虑，如图2所示：当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y=–424mmx–2；当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y=424mmx–2；当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（12m，–14m–2）时，直线l的解析式为y=x–34m–2．综上所述：直线l的解析式为y=–424mmx–2，y=424mmx–2或y=x–34m–2．【名师点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）①分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况求出点P的坐标；②利用待定系数法及平行线的性质，求出直线l的解析式．2．（2019•河北）如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x–b与y轴交于点B；抛物线L：y=–x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．（1）若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．【答案】（1）b=4，对称轴为x=2，L的对称轴与a的交点为（2，﹣2）；（2）点C与l距离的最大值为1；（3）点（x0，0）与点D间的距离为12.（4）故b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个．【解析】（1）当x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B（0，﹣b），∵AB=8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）=8，∴b=4．∴L：y=﹣x2+4x，∴L的对称轴x=2，当x=2时，y=x﹣4=﹣2，∴L的对称轴与a的交点为（2，﹣2）；（2）∵y=﹣（x﹣2b）2+24b，∴L的顶点C（2b，24b），∵点C在l下方，∴C与l的距离为b﹣24b=﹣14（b﹣2）2+1≤1，∴点C与l距离的最大值为1；（3）由題意得1232yyy，即y1+y2=2y3，得b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0），解得x0=0或x0=b﹣12．但x0≠0，取x0=b﹣12，对于L，当y=0时，0=﹣x2+bx，即0=﹣x（x﹣b），解得x1=0，x2=b，∵b＞0，∴右交点D（b，0）．∴点（x0，0）与点D间的距离为b﹣（b﹣12）=12.（4）①当b=2019时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019x，直线解析式a：y=x﹣2019，联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=2019，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019），共有2021个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点，∴总计4042个点，∵这两段图象交点有2个点重复重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040（个）；②当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y=x﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=2019.5，∴当x取整数时，在一次函数y=x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y=x+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到2019.5之间有1009个偶数，并且在﹣1和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合，条件，因此“美点”共有1010个．故b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个．【名师点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．3．（2019•陕西）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y=ax2+（c–a）x+c经过点A（–3，0）和点B（0，–6），L关于原点O对称的抛物线为L′．（1）求抛物线L的表达式；（2）点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D．若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标．【答案】（1）L：y=–x2–5x–6．（2）符合条件的点P的坐标为（1，2）或（6，12）或（32，34）或（4，2）．【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：(9306)acacc，解得16ac，∴L：y=–x2–5x–6．（2）∵点A、B在L′上的对应点分别为A′（3，0）、B′（0，6），∴设抛物线L′的表达式y=x2+bx+6，将A′（–3，0）代入y=x2+bx+6，得b=–5，∴抛物线L′的表达式为y=x2–5x+6，A（–3，0），B（0，–6），∴AO=3，OB=6，设：P（m，m2–5m+6）（m＞0），∵PD⊥y轴，∴点D的坐标为（0，m2–5m+6），∵PD=m，OD=m2–5m+6，Rt△POD与Rt△AOB相似.①△PDO∽△BOA时，PDOB=ODOA，即m=2（m2–5m+6），解得：m=32或4；②当△ODP∽△AOB时，同理可得：m=1或6；∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，∴符合条件的点P的坐标为（1，2）或（6，12）或（32，34）或（4，2）．【名师点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．4．（2019·海南）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（–5，0），B（–4，–3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2+6x+5．（2）①△PBC的面积的最大值为278．②存在满足条件的点P的坐标为（0，5）和（–32，–74）.【解析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：2555016453abab，解得16ab，故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5．（2）①如图1，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F.在抛物线y=x2+6x+5中，令y=0，则x2+6x+5=0，解得x=–5，x=–1，∴点C的坐标为（–1，0）.由点B（–4，–3）和C（–1，0），可得直线BC的表达式为y=x+1.设点P的坐标为（t，t2+6t+5），由题知–4t–1，则点F（t，t+1），∴FP=（t+1）–（t2+6t+5）=–t2–5t–4，∴S△PBC=S△FPB+S△FPC=12·FP·3=23542tt=2315622tt=23527228t.∵–4–52–1，∴当t=–52时，△PBC的面积的最大值为278．②存在．∵y=x2+6r+5=（x+3）2–4，∴抛物线的顶点D的坐标为（–3，–4）.由点C（–l，0）和D（–3，–4），可得直线CD的表达式为y=2x+2.分两种情况讨论：（i）当点P在直线BC上方时，有∠PBC=∠BCD，如图2.若∠PBC=∠BCD，则PB∥CD，∴设直线PB的表达式为y=2x+b.把B（–4，–3）代入y=2x+b，得b=5，∴直线PB的表达式为y=2x+5.由x2+6x+5=2x+5，解得x1=0，x2=–4（舍去），∴点P的坐标为（0，5）.（ii）当点P在直线BC下方时，有∠PBC=∠BCD，如图3.设直线BP与CD交于点M，则MB=MC.过点B作BN⊥x轴于点N，则点N（–4，0），∴NB=NC=3，∴MN垂直平分线段BC.设直线MN与BC交于点G，则线段BC的中点G的坐标为53,22，由点N（–4，0）和G53,22，得直线NG的表达式为y=–x–4.∵直线CD:y=2x+2与直线NG:y=–x–4交于点M，由2x+2=–x–4，解得x=–2，∴点M的坐标为（–2，–2）.由B（–4，–3）和M（–2.–2），得直线BM的表达式为y=112x．由x2+6x+5=112x，解得x1=–32，x2=–4（含去），∴点P的坐标为（–32，–74）.综上所述，存在满足条件的点P的坐标为（0，5）和（–32，–74）.【名师点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要主要分类求解，避免遗漏．5．（2019•广西南宁）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，–1）．（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点F（–6，3）在抛物线C1上，点M