专题21 探究型之最值问题（解析板）

一、选择题二、填空题1.（黔东南）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为▲．【答案】5.【解析】考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.勾股定理.2.（十堰）如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为▲．【答案】24.【解析】考点：1.勾股定理；2.扇形面积的计算；3.二次函数的最值；4.转换思想的应用．3.（张家界）如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于E,CD⊥MN于点F,P为EF上任意一点,，则PA+PC的最小值为▲．【答案】72.【解析】试题分析：由于A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值．因此，如答图，连接BC，OB，OC，过点C作CH垂直于AB于H．∵AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，∴BE=12AB=4，CF=12CD=3.考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.勾股定理；3.垂径定理．4.（南京）铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长宽高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽之比为3:2，则该行李箱长度的最大值是▲cm.考点：一元一次不等式的应用．5.（宁夏）如下图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是▲．【答案】5.【解析】考点：1.网格问题；2.三角形外心的性质；3.勾股定理；4.数形结合思想的应用.6.（潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺．【答案】25.【解析】考点：1.平面展开-最短路径问题；2.勾股定理．7.（成都）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C.则A′C长度的最小值是▲.【答案】71.【解析】考点：1.单动点和折叠问题；2.菱形的性质；3.锐角三角函数定义；4.特殊角的三角函数值；5.三角形边角关系；6.勾股定理；7.折叠对称的性质.三、解答题1.（福州）（满分14分）如图，抛物线21yx312与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：∠AEO=∠ADC；[来源:Zxxk.Com]（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.【答案】（1）32,0，32,0，3,1；（2）证明见解析；（3）（5，1）；（3，1）或1913,55..【解析】试题分析：（1）直接根据顶点式写出顶点D的坐标；令y=0，解之即可求得点A，B，的坐标.（2）过D点作DG⊥y轴于点G，设抛物线对称轴交x轴于点M，AE交CD于点F，通过△DCG∽△EOM的证明求出点E的坐标，应用勾股定理逆定理，证明△AED是直角三角形，从而得出结论.（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理得22PQEP1，故要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即2EP最小，设点P的坐标为（x，y），根据勾股定理得222EPx3y2，将21yx312化为2x32y2整体代入即得到2EP关于y的二次函数，应用二次函数的最值原理即可求得当PQ的长最小时，点P的坐标.设点Q的坐标为（m，n），则由⊙E的半径为1，根据勾股定理可得222m3n21；由切线的性质可得222PQEPEQ，即222m5n151，联立二方程解得m3n1或19m513n5，从而得到点Q的坐标.由勾股定理，得22AE6,AD3，∴222AEAD639ED.∴△AED是直角三角形.设AE交CD于点F，∴∠ADC+∠AFD=90°.又∵∠AEO+∠HFE=90°，∠AFD=∠HFE，∴∠AEO=∠ADC.（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理得22PQEP1，∴要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即2EP最小.设点P的坐标为（x，y），根据勾股定理得222EPx3y2.考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.直角三角形两锐角的关系；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理和逆定理；7.切线的性质；8.二次函数的性质；9.解二元二次方程组.2.（梅州）（本题满分11分）如图，已知抛物线233yxx384与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C.（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）A(4，0)、D(－2，0)、C(0，－3)；（2）连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求，M(1，94)；（3）存在，(－2，0)或(6，6).【解析】∴直线AC的解析式为3y=x34.∵233yxx384的对称轴是直线34x1328，把x=1代入3y=x34得9y=4`∴M(1，94).（3）存在，分两种情况：①如图，当BC为梯形的底边时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(－2，0).②如图，当BC为梯形的腰时，过点C作CP//AB，与抛物线交于点P，∵点C，B关于抛物线对称，∴B(2，－3)设直线AB的解析式为11y=kx+b，则11114k+b02k+b3，解得113k2b6.综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，点P的坐标为(－2，0)或(6，6).考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.轴对称的应用（最短线路问题）；5.二次函数的性质；6.梯形存在性问题；7.分类思想的应用.3.（黔东南）（14分）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A15,22和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．【答案】（1）y=2x2﹣8x+6；（2）当9n4时，线段PC最大且为498；（3）P（3，0）或P15,22．【解析】试题分析：（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）存在.设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴222949PCn22n8n62n9n42n48-.∵20，∴当9n4时，线段PC最大且为498．（3）设直线AC的解析式为y=﹣x+b，考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.直角三角形的判定．4.（武汉）如图，已知直线AB：ykx2k4与抛物线21yx2交于A、B两点，（1）直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标；（2）当1k2时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离.【答案】（1）（-2，4）；（2）（-2，2）或（1，12）；（3）25.【解析】联立21yx321yx2，解得： x39y2或 x2y2．∴点A的坐标为（-3，92），点B的坐标为（2，2）．如答图1，过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，过点A作AM⊥PQ，垂足为M，过点B作BN⊥PQ，垂足为N．∴符合要求的点P的坐标为（-2，2）或（1，12）．（3）如答图2，过点D作x轴的平行线EF，作AE⊥EF，垂足为E，作BF⊥EF，垂足为F．∵点A、B是直线AB：ykx2k4与抛物线21yx2交点，∴m、n是方程21kx2k4x2即2x2kx4k80两根．∴mn2kmn4k8，．∴24k82ktt40，即2t2kt4k40，即t2t2k20.∴12t2t2k2，（舍）．∴点D到直线AB的最大距离为25．考点：1.二次函数综合题；2.因式分解法解一元二次方程；3.根与系数的关系；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性质；6.分类思想的应用．5.（襄阳）（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为▲；抛物线的解析式为▲．（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？【答案】（1）（1，4），y=﹣x2+2x+3；（2）15t11或9t13；（3）当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．【解析】试题解析：（1）（1，4），y=﹣（x﹣1）2+4．（2）依题意有：OC=3，OE=4，∴2222CEOCOE345.当∠QPC=90°时，∵PCOCcosQPCCQCE，∴3t32t5，解得15t11.当∠PQC=90°时，∵CQOCcosQCPPCCE，∴2t33t5，解得9t13.∴QF=22tt44tt44∴ACQAFQCPQ1111SSSFQAGFQDGFQAGDGFQAD2222221t12tt21244.∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．考点：1.二次函数综合题；2.双动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.矩形的性质；7.勾股定理；8.由实际问题列函数关系式；9.分类思想和转换思想的应用.6.（孝感）（本题满分12分）如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线2yx4x3经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上．（1）请直接写出下列各点的坐标：A▲，B▲，C▲，D▲；（4分）（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作