专题23 与四边形形相关的压轴题-三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（全国通用用）（解析

1/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司专题23与四边形相关的压轴题一、选填题1．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，矩形纸片ABCD，:2:1ADAB，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A，2/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司B，连接AA并延长交线段CD于点G，则EFAG的值为（）A．22B．23C．12D．53【答案】A3/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【分析】根据折叠性质则可得出EF是AA的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO=∠AGD，∠FHE＝∠D＝90°，根据相似三角形判定推出△EFH∽△GAD，再利用矩形判定及性质证得FH＝AB，即可求得结果．【详解】解：如图，过点F作FH⊥AD于点H，4/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∵点A，B的对应点分别为A，B，∴EAEA，FBFB，∴EF是AA＇的垂直平分线．∴∠AOE=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．5/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，∴∠AEO=∠AGD．∵FH⊥AD，∴∠FHE＝∠D＝90°．∴△EFH∽△GAD．∴EFFHAGAD．∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，∴四边形ABFH是矩形．6/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∴FH＝AB．∴1222EFFHABAGADAD；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图，矩形纸片,4,8ABCDABBC，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC7/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，5MN；③PQM的面积S的取值范围是45S．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③8/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【答案】C【分析】根据矩形的性质与折叠的性质，证明出PMNPNM，PMPN，通过等量代换，得到PM=CN，则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理5CN，1252CQAC，由菱形的性质对角线互相垂直，再用勾股定理求出225MNQN；当MN过点D时，最小面积1144444CMPSSS菱形，当P点与A点重合时，S最大为15454S，得出答案．9/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【详解】解：①如图1，∵PMCNP，∴PMNMNC，∵折叠，∴MNCPNM，NC=NP∴PMNPNM，10/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∴PMPN，∴PM=CN，∴MPCN∥，∴四边形CNPM为平行四边形，∵CNNP，∴平行四边形CNPM为菱形，故①正确，符合题意；11/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司②当点P与A重合时，如图2所示设BNx，则8ANMCx，在RtABN△中，222ABBNAN，12/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司即2224(8)xx，解得：3x，∴5CN，2245ACABBC，∴1252CQAC，又∵四边形CNPM为菱形，∴ACMN，且2MNQN，∴225QNCNCQ∴225MNQN，故②错误，13/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司不符合题意．③当MN过点D时，如图3所示：此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为14/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司1144444CMPSSS菱形，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为15454S，∴45S，故③正确，符合题意．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理15/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司与性质定理、勾股定理是解决本题的关键．3．（2021·湖南常德市·中考真题）如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P．则下列结论成立的是（）16/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司A．12BEAEB．PCPDC．90EAFAFDD．PEEC【答案】C17/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质逐一判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=CA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，18/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∵已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，∴BE=12BC=12AB12AE，故A选项错误，不符合题意；在△ABE和△DAF中，19/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司90ABDAABEDAFBEFA，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠BAE=∠ADF，∵∠ADF+∠AFD=90°，∴∠BAE+∠AFD=90°，∴∠APF=90°，20/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∴∠EAF+∠AFD=90°，故C选项正确，符合题意；连接FC，同理可证得△CBF≌△DAF（SAS），∴∠BCF=∠ADF，∴∠BCD-∠BCF=∠ADC-∠ADF，即90°-∠BCF=90°-∠ADF，21/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∴∠PDC=∠FCD∠PCD，∴PCPD，故B选项错误，不符合题意；∵ADPD，∴CDPD，∴∠DPC∠DCP，22/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∴90°-∠DPC90°-∠DCP，∴∠CPE∠PCE，∴PECE，故D选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．23/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司4．（2021·山东东营市·中考真题）如图，ABC是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且30DBE，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①34ABCS!；②当点D与点C重合时，12FH；③3AECDDE；④当AECD时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（）A．①②③B．①②④C．①②③④D．②③④24/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【答案】B【分析】过A作AI⊥BC垂足为I，然后计算△ABC的面积即可判定①；先画出图形，然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定②；如图将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN，求证NE=DE；再延长EA到P使AP=CD=AN，证得∠P=60°，NP=AP=CD，然后讨论即可判定③；如图1，当AE=CD时，根据题意求得CH=CD、AG=CH，再证明四边形BHFG为平行四边形，最后再说明是否为菱形．25/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图1,过A作AI⊥BC垂足为I∵ABC是边长为1的等边三角形∴∠BAC=∠ABC=∠26/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司C=60°，CI=1212BC∴AI=32∴S△ABC=113312224AIBC,故①正确；27/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司如图2，当D与C重合时∵∠DBE=30°，ABC是等边三角形∴∠DBE=∠ABE=30°∴DE=AE=1122AD∵GE//BD∴1BGDEAGAE∴BG=1122AB28/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∵GF//BD,BG//DF∴HF=BG=12,故②正确；29/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司如图3，将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD,BD=BN∵∠3=30°∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°∴∠NBE=∠3=30°30/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司又∵BD=BN，BE=BE∴△NBE≌△DBE（SAS）∴NE=DE延长EA到P使AP=CD=AN∵∠NAP=180°-60°-60°=60°∴△ANP为等边三角形∴∠P=60°，NP=AP=CD31/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司如果AE+CD=3DE成立，则PE=3NE,需∠NEP=90°，但∠NEP不一定为90°，故③不成立；如图1，当AE=CD时，∵GE//BC∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60°32/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∴∠AGE=∠AEG=60°，∴AG=AE同理：CH=CD∴AG=CH∵BG//FH,GF//BH∴四边形BHFG是平行四边形∵BG=BH∴四边形BHFG为菱形，故④正确．故选B．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识33/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．5．（2021·四川宜宾市·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）34/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司A．2B．74C．322D．3【答案】A35/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【分析】构造如图所示的正方形CMPD，然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP即可．【详解】如图，延长CE，FG交于点N，过点N作//lAB，延长,CBDA交l于,MP，36/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∴∠CMN=∠DPN=90°，∴四边形CMPD是矩形，根据折叠，∠MCN=∠GCN，CD=CG，DFFG，∵∠CMN=∠CGN=90°，CN=CN，∴RtMNCRtGNC，37/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司∴6CMCGCD，MNNG四边形CMPD为正方形，//BEMN∴CBECMN，∴4263BECBMNCM，2BE，3MN，3NP，设DFx,则38/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司4AFx，在RtPNF中，由222FPNPNF可得222(42)3(3)xx解得2x；39/580学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司故选A．【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形，勾股定理等知识点的综合运用，难度较大．作出合适的辅助线是解题的关键．6．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）如图所示，在矩形纸片ABCD中，3,6ABBC，点EF、分别是矩形的边A