专题24 与二次函数相关的压轴题-三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（全国通用）（解析版

1/709学科网（北京）股份有限公司专题24与二次函数相关的压轴题一、选填题1．（2021·湖北黄石市·中考真题）二次函数2yaxbxc（a、b、c是常数，且0a）的自变量x与函数值y的部分对应2/709学科网（北京）股份有限公司值如下表：x…1012…y…m22n…且当32x时，对应的函数值0y．有以下结论：①0abc；②203mn；③关于x的方程20axbxc的负实数根在12和0之间；④111,Pty和221,Pty在该二次函数的图象上，则当实数13t时，12yy．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④3/709学科网（北京）股份有限公司【答案】B【分析】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式可得到a、b互为相反数，c=2，即可判断；②将x=-1与x=2代入解析式得到m和n的表达式，再结合当32x4/709学科网（北京）股份有限公司时，对应的函数值0y，即可表示出m+n的取值范围；③根据点（1，2）与当32x时，对应的函数值0y可知方程20axbxc的正实数根在1和2之间，结合抛物线的对称性即可求出方程20axbxc的负实数根的取值范围；④分类讨论，当1P在抛物线的右侧时，1P的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有12yy，求出5/709学科网（北京）股份有限公司对应的t即可；当1P与2P在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当1P的横坐标到对称轴的距离小于2P到对称轴的距离时满足12yy，求出对应的t即可.【详解】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式得：22cabc，则a、b互为相反数，∴0abc＜，故①错误；②∵a、b互为相反数，∴将x=-1与x=2代入解析式得：22mna，则：44mna，6/709学科网（北京）股份有限公司∵当32x时，对应的函数值0y，∴得：380a＜，即：8a-3＜，∴2044-3mna＜.故②正确；③∵函数过点（1，2）且当32x时，对应的函数值0y，∴方程20axbxc的正实数根在1和32之间，7/709学科网（北京）股份有限公司∵抛物线过点（0，2）与点（1，2），∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线12x，∴结合抛物线的对称性可得关于x的方程20axbxc的负实数根在12和0之间.故③正确；8/709学科网（北京）股份有限公司④∵函数过点（1，2）且当32x时，对应的函数值0y，∴可以判断抛物线开口向下，∵1P在抛物线的右侧时，2P恒在抛物线的右侧，此时12yy恒成立，9/709学科网（北京）股份有限公司∴1P的横坐标大于等于对称轴对应的x，即1-12t，解得32t时12yy；∵当1P与2P在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当1P的横坐标到对称轴的距离小于2P到对称轴的距离时满足12yy，即当112112tt＜＞时，11--11-22tt＜满足12yy，10/709学科网（北京）股份有限公司∴当12-23t＜＜时，解得12t＞，即1P与2P在抛物线的异侧时满足12yy，1322t＜＜，∴综上当12t＞时，12yy.故④错误.故选：B.【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题.11/709学科网（北京）股份有限公司2．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）已知函数，则下列说法不正确的个数是（）①若该函数图像与轴只有一个交点，则211yaxaxx1a12/709学科网（北京）股份有限公司②方程至少有一个整数根③若，则的函数值都是负数④不存在实数，使得对任意实数都成立2110axax11xa211yaxaxa2110axaxx13/709学科网（北京）股份有限公司A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】对于①：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；14/709学科网（北京）股份有限公司对于②：分情况讨论a＝0和a≠0时方程的根即可；对于③：已知条件中限定a≠0且a＞1或a＜0，分情况讨论a＞1或a＜0时的函数值即可；对于④：分情况讨论a＝0和a≠0时函数的最大值是否小于等于0即15/709学科网（北京）股份有限公司可．【详解】解：对于①：当a＝0时，函数变为，与只有一个交点，当a≠0时，，∴，1yxx22(1)4(1)0aaaD=+-=-=1a16/709学科网（北京）股份有限公司故图像与轴只有一个交点时，或，①错误；对于②：当a＝0时，方程变为，有一个整数根为，当a≠0时，方程因式分解得到：x1a0a10x1x2110axax17/709学科网（北京）股份有限公司，其中有一个根为，故此时方程至少有一个整数根，故②正确；对于③：由已知条件得到a≠0，且a＞1或a＜0当a＞1时，开口向上，对称轴为，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，∵，(1)(1)0axx1x11xa211yaxax111222axaa+==+1111222aa+=+18/709学科网（北京）股份有限公司∴离对称轴的距离一样，将代入得到，此时函数最大值小于0；当a＜0时，开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，1,1xxa==1x0y211yaxax19/709学科网（北京）股份有限公司∴时，函数取得最大值为，∵a＜0，∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，故③错误；1122xa=+2224(1)21(1)444aaaaayaaa2(1)04aax0y20/709学科网（北京）股份有限公司对于④：a＝0时，原不等式变形为：对任意实数不一定成立，故a＝0不符合；a≠0时，对于函数，当a＞0时开口向上，总有对应的函数值，此时不存在10xx211yaxax0y21/709学科网（北京）股份有限公司a对对任意实数都成立；当a＜0时开口向下，此时函数的最大值为，∵a＜0，∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，2110axaxx2224(1)21(1)444aaaaaaaa2(1)04aax0y22/709学科网（北京）股份有限公司此时不存在a对对任意实数都成立；故④正确；综上所述，②④正确，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键．3．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，已知抛物线2yaxbxc的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点2,0A和点B，与y轴的负半轴交于点C，且2OBOC，则下列结论：①0abc2110axaxx23/709学科网（北京）股份有限公司；②241bac；③14a；④当10b时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得ANBM．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个24/709学科网（北京）股份有限公司【答案】B【分析】依抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可25/709学科网（北京）股份有限公司【详解】①从图像观察，开口朝上，所以0a，对称轴在y轴右侧，所以0b，图像与y轴交点在x轴下方，所以0c0,0ababc，所以①不正确；26/709学科网（北京）股份有限公司②点2,0A和点B，与y轴的负半轴交于点(0,)Cc，且2OBOC设(2,0)Bc代入2yaxbxc,得：2420acbcc0c241bac，所以②正确；27/709学科网（北京）股份有限公司③2,0A，(2,0)Bc设抛物线解析式为：(2)(2)yaxxc过(0,)Cc4cac14a，所以③正确；④如图：设,ANBM交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D，28/709学科网（北京）股份有限公司根据抛物线的对称性，APB△是等腰直角三角形，29/709学科网（北京）股份有限公司2,0A，(2,0)Bc22ABc，112PQABc又对称轴2(2)12cxc(1,1)Pcc由顶点坐标公式可知24(1,)4acbDca30/709学科网（北京）股份有限公司14a2(1,)Dccb由题意21cbc，解得1b或者1b由①知0b1b，所以④不正确．综上所述：②③正确共2个故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数2yaxbxc（a≠0），a的符号由抛物线的开口决定；b的符号由a及对称轴的位置确定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊点1，-1及2对应函数值的正负来解决是解题的关31/709学科网（北京）股份有限公司键．4．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点，，且过，两点（b，a是实数），若，则的取值范围是（）,0m(),0n0,Ab3,Ba02mnab32/709学科网（北京）股份有限公司A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意列出二次函数的解析式，求出二次函数的最值，利用基本不等式，求出的范4108ab1908ab81016ab49016abab33/709学科网（北京）股份有限公司围．【详解】由题意，二次函数与x轴交于两点，，且二次项系数为1，则：0m,,0n2()()()yxmxnxmnxmn34/709学科网（北京）股份有限公司过，两点，0,Ab3,Babmn93()amnmn23()9abmnmn02mn2()4mnmn35/709学科网（北京）股份有限公司，21()3()92abmnmn219=(3)22mn02mn04mn92ab1()2abab922abab8116ab36/709学科网（北京）股份有限公司二次函数的二次项系数为1，对称轴为二次函数图像开口朝上，且点，在对称轴的右侧．又．故选C．2mnx,0n3,Ba0a02mn0bmn81016ab37/709学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，二次函数的配方法求最值，以及基本不等式的运用，（仅当时，等于号成立）能灵活的应用基本不等式是解题的关键．5．（2021·湖南岳阳市·中考真题）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二222()2()()0aabbab1()2ababab38/709学科网（北京）股份有限公司次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（）A．4，-1B．，-1C．4，0OABC0,2A2,0C2yxmmOABCm517239/709学科网（北京）股份有限公司D．，-1【答案】D【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．517240/709学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，2yxmmOABC0m41/709学科网（北京）股份有限公司此时有，解得：；当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们