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马尔科夫预测法第一节基本原理一、基本概念1.随机变量、随机函数与随机过程一变量x，能随机地取数据（但不能准确地预言它取何值），而对于每一个数值或某一个范围内的值有一定的概率，那么称x为随机变量。假定随机变量的可能值xi发生概率为Pi即P(x=xi)=Pi对于xi的所有n个可能值，有离散型随机变量分布列：∑Pi=1对于连续型随机变量，有∫P(x)dx=1在试验过程中，随机变量可能随某一参数（不一定是时间）的变化而变化.如测量大气中空气温度变化x=x(h),随高度变化。这种随参变量而变化的随机变量称为随机函数。而以时间t作参变量的随机函数称为随机过程。也就是说：随机过程是这样一个函数，在每次试验结果中，它以一定的概率取某一个确定的，但预先未知的时间函数。2、马尔科夫过程随机过程中，有一类具有“无后效性性质”，即当随机过程在某一时刻to所处的状态已知的条件下，过程在时刻tto时所处的状态只和to时刻有关，而与to以前的状态无关，则这种随机过程称为马尔科夫过程。即是：ito为确知,it(tto)只与ito有关，这种性质为无后效性，又叫马尔科夫假设。简例：设x(t)为大米在粮仓中t月末的库存量，则x(t)=x(t―1)—y(t)+G(t)t月的转出量第t―1月末库存量,G(t)为当月转入量x(t)可看作一个马尔科夫过程。精品资料网3、马尔科夫链时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链。例：蛙跳问题假定池中有N张荷叶，编号为1，2，3,……,N，即蛙跳可能有N个状态（状态确知且离散）。青蛙所属荷叶，为它目前所处的状态；因此它未来的状态，只与现在所处状态有关，而与以前的状态无关（无后效性成立）1234P33P22P44P41P42P31P32写成数学表达式为：P(xt+1=j|xt=it,xt-1=it―1,……x1=i1)=P(xt+1=j|xt=it)定义：Pij=P(xt+1=j|xt=i)即在xt=i的条件下，使xt+1=j的条件概率，是从i状态一步转移到j状态的概率，因此它又称一步状态转移概率。由状态转移图，由于共有N个状态，所以有二．状态转移矩阵1.一步状态转移矩阵系统有N个状态，描述各种状态下向其他状态转移的概率矩阵P11P12……P1N定义为P21P22……P2N:::PN1PN2……PNN这是一个N阶方阵，满足概率矩阵性质1）Pij≥0,i,j=1,2,……,N非负性性质2）∑Pij=1行元素和为1,i=1,2,…NN×NP=如：W1=[1/4,1/4,1/2,0]W2=[1/3,0,2/3]W3=[1/4,1/4,1/4,1/2]W4=[1/3,1/3,-1/3,0,2/3]3）若A和B分别为概率矩阵时，则AB为概率矩阵。概率向量非概率向量稳定性假设若系统的一步状态转移概率不随时间变化，即转移矩阵在各个时刻都相同，称该系统是稳定的。这个假设称为稳定性假设。蛙跳问题属于此类，后面的讨论均假定满足稳定性条件。{2004/11/22}3.k步状态转移矩阵经过k步转移由状态i转移到状态j的概率记为P(xt+k=j|xt=i)=Pij(k)i,j=1,2,……,N定义：k步状态转移矩阵为：P11(k)P12(k)……P1N(k)P=:::PN1(k)PN2(k)……PNN(k)当系统满足稳定性假设时P=P=P•P•……P其中P为一步状态转移矩阵。即当系统满足稳定性假设时，k步状态转移矩阵为一步状态转移矩阵的k次方.[k][k]k例：设系统状态为N=3，求从状态1转移到状态2的二步状态转移概率.解：作状态转移图解法一：由状态转移图：1——1——2:P11•P121——2——2:P12•P221——3——2:P13•P32P12=P11•P12+P12•P22+P13•P32=∑P1i•Pi2132P13P32P11P12P12P22解法二：k=2,N=3P11(2)P12(2)P13(2)P=P21(2)P22(2)P23(2)P31(2)P32(2)P33(2)P11P12P13P11P12P13=P•P=P21P22P23P21P22P23P31P32P33P31P32P33得：P12(2)=P11•P12+P12•P22+P13•P32=∑P1i•Pi2例：味精销售问题已连续统计六年共24个季度，确定畅销，滞销界限，即只允许出现两种状态，且具备无后效性。。设状态1为畅销，状态2为滞销,作出状态转移图:图中:P11为当前畅销，连续畅销概率；P12为当前畅销，转滞销概率；P22为当前滞销，连续滞销概率；P21为当前滞销，转畅销概率。12P22P11P12P21精品资料网数据在确定盈亏量化界限后的统计表如下：t12345678910111213状态①①②①②②①①①②①②①t1415161718192021222324状态①②②①①②①②①①①进行概率计算时，第二十四个季度为畅销，但后续是什么状态不知，故计算时不能采用，只用于第二十三季度统计。有：P11=7/(7+7)=0.5;P12=7/(7+7)=0.5;P21=7/(7+2)=0.78;P22=2/(7+2)=0.22则0.50.50.780.22此式说明了：若本季度畅销，则下季度畅销和滞销的可能性各占一半若本季度滞销，则下季度滞销有78%的把握，滞销风险22%P=二步状态转移矩阵为：0.50.50.50.50.780.220.780.220.640.360.56160.4384P11(2)P11(2)P11(2)P11(2)==P=P=2[2]三.稳态概率：用于解决长期趋势预测问题。即：当转移步数的不断增加时，转移概率矩阵P的变化趋势。1.正规概率矩阵。定义：若一个概率矩阵P，存在着某一个正整数m,使P的所有元素均为正数（Pijo），则该矩阵称为正规概率矩阵[k]例：1/21/41/4P=1/31/31/3为正规概率矩阵2/51/52/501P11=01/21/2但当m=2，有有Pij0它也是正规概率矩阵。（P每个元素均为正数）但1001就找不到一个正数m,使P的每一个元素均大于0，所以它不是正规概率矩阵。½½¼¾P=22P=mP=2固定概率向量（特征概率向量）设P为NN概率矩阵,若U=[U1,U2,…,UN]为概率向量,且满足UP=U,称U为P的固定概率向量例011/21/2为概率矩阵P的固定概率向量U=[1/3,2/3]检验UP=[1/32/3]011/21/2=[1/32/3]P=3.正规概率矩阵的性质定理一设P为NXN正规概率矩阵，则A.P有且只有一个固定概率向量U=[U1,U2,……UN]且U的所有元素均为正数Ui0B.NXN方阵P的各次方组成序列P,P,P,……,P趋于方阵T，且T的每一个行向量都是固定概率向量U。即U1U2……UNUlimPk=T=:::=:U1U2……UNU这个方阵T称稳态概率矩阵。23k这个定理说明：无论系统现在处于何种状态，在经过足够多的状态转移之后，均达到一个稳态。因此，欲求长期转移概率矩阵，即进行长期状态预测，只要求出稳态概率矩阵T；而T的每个行向量都是固定概率向量，所以只须求出固定概率向量U就行了!定理二：设X为任意概率向量，则XT=U即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为固定概率向量。事实上：U1U2……UNXT=X•:::=[U1∑XiU1∑Xi……U1∑Xi]U1U2……UN=[U1U2……UN]=U精品资料网例：若0.40.30.3P=0.60.30.1求T0.60.10.3解：设U=[U1U2U3]=[U1U21－U1－U2]由UP=U有0.40.30.3[U1U21－U1－U2]0.60.30.1=[U1U2U3]0.60.10.3即-0.2U1+0.6=U1→U1=0.50.2U1+0.2U2+0.1=U2→U2=0.25-0.2U2+0.3=U3→U3=0.25∴U=[0.50.250.25]则0.50.250.25T=0.50.250.250.50.250.25说明：不管系统的初始状态如何，当系统运行时间较长时，转移到各个状态的概率都相等。（列向量各元素相等）即各状态转移到1状态都为0.5;2状态都为0.25;3状态都为0.25第二节市场占有率预测商品在市场上参与竞争，都拥有顾客，并由此而产生销售，事实上，同一商品在某一地区所有的N个商家（或不同品牌的N个同类产品）都拥有各自的顾客，产生各自销售额，于是产生了市场占有率定义：设某一确定市场某商品有N个不同品牌（或N个商家）投入销售，第i个商家在第j期的市场占有率Si(j)=xi(j)/xi=1,2,……N其中xi(j)为第i个商家在第j期的销售额（或拥有顾客数）x为同类产品在市场上总销售额（或顾客数）市场占有率所需数据可通过顾客抽样调查得到。精品资料网一般地,首先考虑初始条件,设当前状态（即j=0）为S(0)=[S1(0)S2(0)……SN(0)]第i个商家Si(0)=xi(0)/x→xi(0)=Si(0)x即当前第i个商家市场占有率与初始市场占有率及市场总量有关.同时假定满足无后效性及稳定性假设.由于销售商品的流通性质,有第i个商家第j期销售状况为xi(k)=x1(0)P1i(k)+x2(0)P2i(k)+……+xN(0)PNi(k)=xS1(0)P1i(k)+xS2(0)P2i(k)+……+xSN(0)PNi(k)P1i(k)=x[S1(0)S2(0)……SN(0)]P2i(k):PNi(k)有：Si(k)=xi(k)/xP1i(k)=[S1(0)S2(0)……SN(0)]P2i(k):PNi(k)故可用矩阵式表达所有状态:[S1(k),S2(k),……,SN(k)]=[S1(0),S2(0),……,SN(0)]P即S(k)=S(0)P当满足稳定性假设时,有S(k)=S(0)P这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有率k步预测模型.[k]k[k]例:东南亚各国味精市场占有率预测,初期工作:a)行销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3.b)市场调查,求得目前状况,即初始分布c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状态转移概率.1)初始向量:设上海味精状况为1;日本味精状况为2;香港味精状况为3;有S(0)=[S1(0)S2(0)S3(0)]=[0.40.30.3]2)确定一步状态转移矩阵P11P12P130.40.30.3P=P21P22P23=0.60.30.1P31P32P330.60.10.33),3步状态转移矩阵(假定要预测3个月后)P11(3)P12(3)P13(3)0.4960.2520.252P3=P21(3)P22(3)P23(3)=P=0.5040.2520.244P31(3)P32(3)P33(3)0.5040.2440.25234)预测三个月后市场0.4960.2520.252S(3)=S(0)P3=[0.40.30.3]0.5040.2520.2440.5040.2440.252S1(3)=0.4×0.496+0.3×0.504+0.3×0.504=0.5008S2(3)=0.2496S3(3)=0.2496二.长期市场占有率预测这是求当k→∞时S(k)→?我们知道:S(k)=S(0)PlimS(k)=S(0)limP=S(0)•T=U因此,在已知初始条件下求长期市场占有率就是求稳态概率矩阵,也是求固定概率向量.求固定概率向量的方法,我们在前一节已有例子,只不过说明了长期市场占有率也是只与稳态矩阵有关,与初始条件无关.[k][k]上面味精例子,0.40.30.3已知P=0.60.30.10.60.10.40.50.250.25求出T=0.50.250.25=limPk0.50.250.25limS(k)=