23X势能-机械能守恒定律

2.3势能机械能守恒定律一.保守力的功（ConservativeForce）1.重力的功重力mg在曲线路径M1M2上的功：babadAAbayyymgd）（abyymg1)重力的功只与始、末位置有关，而与路径无关.2)质点上升时，重力作负功；下降时，作正功.结论:yxoyyaabbdrGrdGdAmgdyjdyidxjmg)()(3)若物体从a出发经任意路径回到a点，则0rdGA2.万有引力的功dsFrdFA)90cos(drrmMGd2万有引力在全部路程中的功为：barrbarrmMGA2d)11(abrrGmM1)万有引力的功,只与始末位置有关，与路径无关.结论:F上的元功为在位移元rd2rmMGF2)质点间靠近时，万有引力作正功；远离时，作负功.rabθrdsF太阳地球MmrdrabFdrdsFsin3)若物体从a出发经任意路径回到a点，则0rdFA3.弹性力的功baxxbaxkxAd1)弹性力的功只与始末位置有关，与路径无关.2)弹簧的变形减小时，弹性力作正功；增大时，作负功.)2121(22abkxkxikxF弹簧弹性力由xa到xb弹性力的功：结论:x自然长度弹簧xFo3)若物体从a出发经任意路径回到a点，则0rdFA保守力与非保守力:如某力的功与路径有关，则称这种力为非保守力，如摩擦力。若力F对物体所作的功决定于作功的起点和终点，而与作功的路径无关，称此力为保守力。如重力、万有引力、弹性力.drF.=0或：若有一个力能满足条件：则称此力为保守力。重力的功：弹力的功：万有引力的功：上面三式左边是保守力的功，右边是与质点始末位置有关的两个位置函数之差。既然功是能量变化的量度，而左边是功，右边必代表某种能量的变化。而这种能量的变化又总是等于两个位置函数之差，故这种位置函数必代表一种能量----位能(或势能)，因它决定于物体的位置状态（势）。二.势能（PotentialEnergy））（abyymgbaAbaA)2121(22abkxkxbaA)11(abrrGmM上面三式可写成一般形式：ppbpabaEEEA上式只给出了势能之差的概念，右边的两项都加或减一个常数，等式仍成立。到此是否给出了势能的定义呢？这说明：1）真正有意义的是势能差而不是势能的绝对值。2）基于以上原因，我们可以规定某一位置处势能为零，以便给出其它点的势能值。这个被规定的势能零点位置称为参考点。例如规定,0pbE则a点的势能bapaAEbardF保守力参考点保守力参aaparFEdA质点在保守力场中某点的势能，在量值上等于质点从该点移动至参考点(势能零点)的过程中，保守力作的功。定义：因为只有保守力的积分是与路径无关的，因而当参考点选定以后，势能的值就是唯一确定的.只有物体之间的相互作用力是保守力，才能建立势能的概念。注意：例如：对于摩擦力，不能引入势能的概念。可以任选一个你认为方便的路径计算势能。xyzO),,(0000zyxM),,(zyxMOxFG1.重力势能0)d()(hkzjdyidxkmg2.弹性势能0d)(xpxkxxEmgh221kx以地面为参考点.参考点保守力hprFhEd)(0dhzmg以弹簧的平衡位置为势能零点.3.万有引力势能rrmMGErpd)((r)2rMmF等势面rmMG选取远为势能的零点质点的势能与位置坐标的关系可用图线表示:zPEO重力势能PE弹性势能万有引力势能PExOPErO⑤势能属于相互作用的物体系统所共有，“某物体的势能”只是习惯的说法.④保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关.重力势能零点可以任意选取，弹性势能选平衡位置为势能零点。万有引力势能常以无穷远为参考点。势能的值是相对参考点而言的，参考点选择不同势能的值不同,故某点的势能值是相对的。如何选择参考点：原则上可以任意选择，但要以研究问题方便为原则。即：保守力做的功等于质点势能的减少，或势能增量的负值。⑥保守力做功与势能变化的关系ppbpabaEEEA对元过程：pdEdA⑦势能的定义式可看作是保守力与势能的积分关系参考点保守力apardFE保守力与势能的微分关系:),,(zyxEEPPzzEyyExxEEPPPPddddrFAddzFyFxFzyxddd)(kzEjyEixEFPPPPEAdd由势能曲线求保守力:势能曲线上某点斜率的负值，就是该点对应的位置处质点所受的保守力。dxdEFPx以一维为例)(kzEjyEixEFPPPxPEkEPE1x2x3x4x质点运动范围：0pkEEE)(1x)(4xFF设质点在（x2x3）内释放：)(32xx做往复振动ABCB点：0F稳定平衡位置FF之间：与Bx20dxdEFPx之间：与3xB0dxdEFPx0dxdEFPxpkEEE三.功能原理(Work-EnergyTheorem)功能原理实际上是系统动能定理的变形。2F3F1F3m2m1m12F32F23F31F21F13F第一个质点：)1()1(112kkEEA＝）（合第二个质点：)2()2(212kkEEA＝）（合第n个质点：)()(12nknknEEA＝）（合、、、、、、、kkkkkknkkknEEEEEEEEEAAAA12111222][][)1()1()1()()2()1(21＝）（合）（合）（合合合力外力内力保守内力非保守内力2F3F1F3m2m1m12F32F23F31F21F13FA合力A外力A内力A保守内力A非保守内力A合＝A外＋A保守内力＋A非保守内力＝Ek2－Ek1－（Ep2－Ep1）A外＋A非保守内力+[－（Ep2－Ep1）]=Ek2－Ek1A外＋A非保守内力=(Ek2－Ek1）+[（Ep2－Ep1）]令称为系统的机械能式中21EE,分别为作功前后系统的机械能A外＋A非保守内力=(Ek2－Ek1）+[（Ep2－Ep1）]A外＋A非保守内力=(Ek2+Ep2）-（Ek1+Ep1）EEEpk12EEAA非保守内力外系统的功能原理说明:1）功能原理说明只有外力及非保守内力才能改系统的机械能.功能原理:系统的机械能的增量等于外力及非保守内力作功之总和.12EEAA非保守内力外2）功能原理与动能原理并无本质差别,区别在于功能原理引入了势能概念,而无需计算保守力的功.动能原理则应计算包括保守内力在内的所有力的功.0非保守内力外力当：AA12EE或：1122pkpkEEEE机械能守恒定律：如果系统内除保守内力以外，其它外力及和非保守内力都不作功或者所作的功为零，那么系统的总机械能保持不变。)(0非保守内力外力AA12EE四、机械能守恒定律（LawofConservationofMechanicalEnergy）保守内力作功是系统势能与动能相互转化的手段和度量0非保守内力外力AA2）机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的特例。注意：1）机械能守恒的条件：并非：0非保守内力外力FF考虑各种物理现象，计及各种能量，则一孤立系统不管经历何种变化，系统所有能量的总和保持不变。能量不能消灭，只能转化，从一种形式转化为另一种形式。——普遍的能量守恒定律把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度eeRGM20v根据机械能守恒定律有:xmMGmRmMGmeee2202121vv例1.求物体从地面飞行到与地心相距nRe处经历的时间。发射出去，阻力忽略不计，xGMe2vtxddvxxGMxted21ddvxxGMttnRReeed21d1012322/32/31nRGMtee)(21)(21210222210xxxgmkxxxkgmmF)(21kgmx20kFx1kgmx12用弹簧连接两个木板m1、m2，弹簧压缩x0.2m1m0x2m1mF1x1m2x解:整个过程只有保守力作功，机械能守恒2G2f1f1G例2.求给m2上加多大的压力能使m1离开桌面？例3.宇宙速度牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体的运动轨迹取决于抛体的初速度设地球质量,抛体质量,地球半径.EmERmvh``````解取抛体和地球为一系统，系统的机械能E守恒.1）人造地球卫星第一宇宙速度第一宇宙速度，是在地面上发射人造地球卫星所需的最小速度.1v)(21EE21RmmGmEv)(21EE2hRmmGmv解得hRGmRGmEEEE12vvh``````)(21)(21EE2EE21hRmmGmRmmGmEvv2EEE2)(hRmmGhRmv由牛顿第二定律和万有引力定律得vh``````2EERGmg)2(EEE1hRRgRv地球表面附近hRE故E1gRvm/s109.731v计算得第一宇宙速度0)(2EEhRGmmE0EhRGmRGmEEEE12v2）人造行星第二宇宙速度0)(21pkEE22EERmmGmEv``````vh设地球质量,抛体质量,地球半径.EmERm第二宇宙速度，是抛体脱离地球引力所需的最小发射速度.2v0;0,vFr当若此时则取抛体和地球为一系统，系统机械能守恒.EEEE222gRRGmv第二宇宙速度0E0)(21EE22RmmGmEv``````vhkm/s2.112v计算得3）飞出太阳系第三宇宙速度第三宇宙速度，是抛体脱离太阳引力所需的最小发射速度.3vvh设地球质量,抛体质量,地球半径,EmERm太阳质量,抛体与太阳相距.SmSR取地球为参考系,由机械能守恒得2EE2321)(21v'vmRmmGm取抛体和地球为一系统，抛体首先要脱离地球引力的束缚,其相对于地球的速率为.v'取太阳为参考系,抛体相对于太阳的速度为，3'v地球相对于太阳的速度E3''vvv则如与同向,有E'vvE3''vvv要脱离太阳引力，机械能至少为零0)(21pkSS23EERmmGmEv'21SS3)2(RGmv'则由于与同向,则抛体与太阳的距离即为地球轨道半径设地球绕太阳轨道近似为一圆，E3'vvSR则2SSES2EERmmGRmv21SSE)(RmGv地球相对于太阳的速度：抛体相对于太阳的速度1-21EE23s.4km16)2(RmGv'v计算得第三宇宙速度2EE2321)(21v'vmRmmGm取地球为参照系vhE3vv'v'21SS))(12(RGmv'计算得抛体相对于地球的速率vh抛体的轨迹与能量的关系0E0E椭圆(包括圆)km/s9.71v0E0E抛物线km/s2.112v0E0E双曲线sm.4k163v