2、第2章 机械优化设计的基本概念和数学模型

§§22--11优化设计问题的实例优化设计问题的实例优化设计包括：（1）将实际问题加以数学描述，形成数学模型；（2）选用适当的优化方法和计算程序运算求解。已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料最省。x1x2x3实例实例11、箱盒的优化设计、箱盒的优化设计分析：（1）箱盒的表面积的表达式；（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3；（3）设计约束条件：（a）体积要求；（b）长度要求；x1x2x3实例实例11、箱盒的优化设计（续）、箱盒的优化设计（续）123,,xxx122313min2()Sxxxxxx123123500100xxxxxx设计参数：设计目标：约束条件：数学模型某工厂生产A和B两种产品，A产品单位价格PA万元，B产品单位价格为PB万元。每生产一个单位A产品需消耗煤aC吨，电aE度，人工aL个人日；每生产一个单位B产品需消耗煤bC吨，电bE度，人工bL个人日。现有可利用生产资源煤C吨，电E度，劳动力L个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。实例实例22、最大产值生产资源分配问题、最大产值生产资源分配问题分析：（1）产值的表达式；（2）设计参数确定：A产品个数xA，B产品个数xB；（3）设计约束条件：（a）生产资源煤约束（C吨）；（b）生产资源电约束（E度）；（b）生产资源劳动力约束（L个人日）；实例实例22、最大产值生产资源分配问题（续）、最大产值生产资源分配问题（续）数学模型：,ABxxmaxAABBPPxPx设计参数：设计目标：约束条件：实例实例22、最大产值生产资源分配问题（续）、最大产值生产资源分配问题（续）CACBEAEBLALBaxbxCaxbxEaxbxL煤的约束条件电的约束条件人工的约束条件已知：传动比i,转速n,传动功率P，大小齿轮的材料，试设计该齿轮副，使其重量最轻。分析：（1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达；（2）设计参数确定：模数(m)，齿宽(b)，齿数(Z1)；（3）设计约束条件：（a）大齿轮满足弯曲强度要求；（b）小齿轮满足弯曲强度要求；（c）齿轮副满足接触疲劳强度要求；（d）齿宽系数要求；（e）最小齿数要求。实例实例33、直齿圆柱齿轮副的优化设计、直齿圆柱齿轮副的优化设计数学模型1,,mzb2211min[()()]4Wbmzmiz设计参数：设计目标：约束条件：1122111[]0[]0[]01.20170FFFFHHbmzz大齿轮强度要求小齿轮强度要求接触疲劳强度要求齿宽系数要求最小齿数要求综上所述，这些问题的共同点都是：在满足设计要求和条件的情况下，使目标的参数达到最优，即最优参数。一个优化设计问题应包括：合理选择一组独立的参数——设计变量；有一个或几个需要满足最佳的设计目标，它是设计变量的函数——目标函数；所取设计变量必须满足一定的限制条件—约束条件。上述三者共同描述的优化设计问题就是优化设计的数学模型。§2-2优化设计的数学模型优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，是进行优化设计的基础。1.1.设计变量设计变量用一些设计常数和取值不同的设计变量来表示不同的设计方案，这些设计常数和设计变量称为设计参数。设计参数几何参数：物理参数：性能参数：设计变量必须是独立的参数设计变量实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的个数称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。1212[,,,]Tnnxxxxxxx按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量：例如轴径、轮廓尺寸等；离散变量：例如各种标准规格等。图1-1设计变量所组成的设计空间（a）二维设计问题（b）三维设计问题只有两个设计变量的二维设计问题可用图示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图示的空间直角坐标表示。设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。小型设计问题：一般含有2—10个设计变量；中型设计问题：10—50个设计变量；大型设计问题：50个以上的设计变量。目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。如何选定设计变量？确定设计变量时应注意以下几点：（1）抓主要，舍次要。对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量Ｇ等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径D作为设计常量。（3）设计变量应该是独立的；（4）用设计变量来阐述设计问题应该是用最少的数量；2.约束条件优化设计不仅要使设计指标达到最优，同时还需要满足一些附加的设计条件，这些条件对设计变量取值的相互关系及其大小加以限制，在优化设计中叫做约束条件或设计约束。约束按其数学表达形式分为：(2)不等式约束()0hx()0gx(1)等式约束按照约束的性质可分为：性能约束：根据性能要求而建立的条件。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求；边界约束：对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。按照约束函数与设计变量之间的关系可分为：隐式约束：约束函数与设计变量之间没有明显的函数关系。如：某些复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。约束函数与设计变量之间有明显的函数关系；显式约束：3.目标函数优化设计实质上是通过改变设计变量，得到不同的目标函数值，比较目标函数值的大小来衡量设计方案的优劣，从而选出最优方案，故目标函数也叫做评价函数。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以f(x)表示。),...,()(21nxxxfXf在机械设计中，可作为参考目标函数的有：体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。在建立优化设计的数学模型时，一般将目标函数的求优表示为求极大或极小，分别表示为：)(maxmax)(XfXf或)(minmin)(XfXf或只有一个目标函数，称为单目标函数。有多个目标函数时，称为多目标函数的最优化问题。在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。在一般的机械最优化设计中,多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。4.优化设计问题一般数学形式：满足约束条件：12[,,,]TnXxxx()minFX()0(1,2,,)khXkl()0(1,2,,)jgXjm12min()(),..()01,2,,()01,2,,nnjkFXFxxxXRstgXjmhXkl，，，求设计变量向量使目标函数对于最优化问题一般可作如下分类：如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量按规划问题分为：二次规划、几何规划、随机规划等。约束无约束动态问题非线性规划线性规划维问题一维问题非线性问题线性问题无约束问题静态问题最优化问题约束问题n5、优化问题的分类与优化方法的简介5、优化问题的分类与优化方法的简介优化方法：求解优化数学模型的方法直接法:单纯形法,鲍威尔法等。解析法:梯度法,共轭梯度法,牛顿法,变尺度法等约束非线性优化问题直接法：复合形法、可行方向法间接法：惩罚函数法、约束消元法用约束线性优化法：逼近规划法无约束非线性优化问题6.建模实例1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。建立优化设计问题的数学模型一般步骤：建立优化设计问题的数学模型一般步骤：否是问题分析建立数学模型选择优化方法编写计算机程序准备初始数据，上机计算确定最优设计方案方案评价与决策优化设计流程优化设计流程77、优化设计步骤的框图：、优化设计步骤的框图：图解分析法应用实例机械优化设计问题来源于生产实际。现在举典型实例来说明优化设计的基本问题。图1-1所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力2F=3×N。人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1×Mpa，材料密度ρ=7.8×/，许用压应力=420MPa。求在钢管压应力不超过许用压应力和失稳临界应力的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。510510310kg3myye图2-2人字架的受力人字架的优化设计问题归结为：TxDH使结构质量minmx但应满足强度约束条件yx稳定约束条件ex钢管所受的压力12221()FLFBhFhh失稳的临界力22eEIFL钢管所受的压应力12221FBhFATDh钢管的临界应力222228eeETDFABh强度约束条件yx可以写成1222yFBhTDh稳定约束条件ex可以写成1222222228FBhETDTDhBh人字架的总质量1222,22mDhALTDBh这个优化问题是以D和h为设计变量的二维问题，且只有两个约束条件，可以用解析法求解。除了解析法外，还可以采用作图法求解。1-3人字架优化设计的图解五、优化问题的几何解释无约束优化：在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点。其极小点在目标函数等值面的中心。约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数的极小点。其极小点在可行域内或在可行域边界上。第四节优化设计问题的基本解法求解优化问题的方法：解析法数值法数学模型复杂时不便求解可以处理复杂函数及没有数学表达式的优化设计问题数值迭代法的基本思路：基本思路：是进行反复的数值迭代。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：（1）、初选一个尽可能靠近最小点的初始点X(0），从X（0）出发按照一定的原则寻找可行方向S(0)和初始步长a(0)，得X（1）点；（2）、得到新点X(1)，按照可行方向S(1)和初始步长a(1)，得X(2)点，以此类推，最终达到目标最优值。33、、优化设计的数值解法优化设计的数值解法在中间过程中每一步的迭代形式为：11()()kkkkkkSffkxxxx=0,1,2,X（k）——称第k步迭代点，亦为第k步设计方案；a（k）——第k步迭代计算的步长；S（k）——第k步迭代计算的探索方向。图1-11寻求极值点的搜索过程迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图用迭代法逐步逼近最优点的搜索过程如图所示。每次迭代所得新点的目标函数均应满足函数值下降的要求：1()()kkffxx1kkkkSxx（（11）选择搜索方向）选择搜索方向（（22）确定步长因子）确定步长因子（3）给定收敛准则*limkkxx收敛：迭代法要解决的问题：算法的收敛性与终止准则算法的收敛性当迭代算法产生的点列所对应的函数值严格地单调递减，并且最终收敛于最优化问题的极小点时，称此迭代算法具有收敛性。点列向极小点逼近的速度称为算法的收敛速度。好的收敛性，快的收敛速度。收敛性收敛