ch13衍生证券定价的一般方法

Ch13衍生证券定价的一般方法可交易证券——被大量投资者仅仅用于投资的交易资产。如：股票、债券、黄金和白银等都是可交易证券。而：利率、通货膨胀率和大多数商品并不是可交易证券。13.1单一基本变量设变量遵循随机过程：dmdtsdz（13.1）其中dz是一个维纳过程，(,),(,)mmtsst分别为的期望增长率和波动率，~(0,)zNt注：未必是可交易证券的价格，它可能是新奥尔良中部地区的气温设12,ff是仅决定于和时间t的两种衍生证券的价格，即：1122(,),(,)fftfft可能是期权，也可能是其它衍生证券，如期货、远期合约等，其盈利仅取决于有Ito定理，不妨设12,ff分别满足：1111dfdtdzf和2222dfdtdzf其中1212,,,分别是和t的函数离散化得：11111fftfz（13.2）22222fftfz（13.3）构造投资组合：对1f：22f对2f：11f组合价值：2211122112()()()ffffff其增量为：221112()()ffff将（13.2）、（13.3）式代入上式，得到：12122112()fffft122112()fft所以rt从而可得：1212rr（13.6）1.风险的市场价格定义:1212rr则对基于和t的某个证券的价格f,必有dffdtfdz(13.7)且满足:r(13.8)称为的风险的市场价格(marketpriceofrisk)一般地，与，t有关，而与f无关。,分别为f的预期收益和波动率。由r（13.9）r:解释为f中代表的的风险的数量.愈大,则也愈大,亦即投资者要补偿的预期收益也愈大.0(无风险),则预期收益为无风险利率r!2.微分方程:由Ito定理dmdtsdz,fft则得:22221()2ffffdfmsdtsdzt比较dffdtfdz得:222212ffffmstffs由(13.9)frff或ffrf,从而得f满足的微分方程:22221()2fffmssrft(13.10)形式上与BS方程类似.观察(12A.4):(支付连续红利)22221()2fffrqssrftss(12A.4)若改为S,则(13.10)即为支付已知红利收益率qrms的衍生证券定价的微分方程.从而11.6节中关于风险中性定价的结果可作进一步推广到标的变量为非可交易证券的衍生证券的情形.3.单一标的变量的风险中性定价类似于ch12中，的预期增长率为()rqmsrrms并以此求解方程（13.10），然后以无风险利率贴现。§13.2利率风险（的市场价格的性质）一般地：股票和债券与利率变化是负相关的，设利率遵循过程：dmdtsdz（13.1）又设某证券的价格f与利率正相关，且遵循过程：dffdtfdz（13.7）注意到：股票和债券的收益是与利率的变化负相关的，所以，如果构造投资组合：股票或债券+证券(f)则相关性得到抵消，这可使得该证券组合的持有者对低于无风险利率的预期收益感到满意。由于，f与正相关，从而0为正，此时r0即利率风险的市场价格为负。在风险中性世界中利率的增长率它在现实世界中的期望增长率远期利率期望的未来的即期利率§13.３基于几个状态变量的证券Ito定律的一般表示式：Th1设函数f依赖于n个变量12,,,nxxx和时间t，即(ff12,,,,)nxxxtix遵循Ito过程，其瞬间漂移率ia和瞬间波动率为2(1)ibin，即：iiiidxadtbdz（13A.1）其中idz是维纳过程(1)in，,iiab可以是所有,ixt的任意函数，对i。则21()2iijijiiiijiiijiffffdfabbdtbdzxtxxx（13A.3）Th2(一般微分方程)设n个状态变量12,,,n遵循Ito过程iiiiiidmdtsdz设函数f依赖于和时间t，即(ff12,,,,)nxxxt其中idz是维纳过程(1)in,iims是i的期望增长率和波动率，,iims可以是12,,,n中任一个变量和时间t的函数，记(,)ikikdzdz，(1,)ikn则第j个可交易证券的价格jf满足微分方程：即：（13A.1），,iiab可以是所有,ixt的任意函数，对i。则21()2jjjiiiiikikikjiikiikfffmsssrft(11)jn去掉下标，则得任何价格f只依赖于状态变量12,,,n和时间t的衍生证券，都满足如下微分方程：21()2iiiiikikikiikiikfffmsssrft（13.B.11）Ex1,2,9